专题3.2 导数与函数的单调性-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.2 导数与函数的单调性 目录 一、题型全归纳 1 题型一 不含参数函数的单调性 1 题型二 含参数函数的单调性 2 题型三 函数单调性的应用 4 命题角度一　构造函数、比较大小或解不等式 4 命题角度二　已知函数单调性求参数的取值范围 5 题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 6 二、高效训练突破 7 一、题型全归纳 题型一 不含参数函数的单调性 【题型要点】求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间． 【易错提醒】求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错． 【例1】函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B． C．(－∞，－1) D． 【例2】已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． 题型二 含参数函数的单调性 【题型要点】解决含参数函数的单调性问题应注意的2点 (1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．　 【例1】已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)，讨论函数y＝f(x)的单调区间． 题型三 函数单调性的应用 命题角度一　构造函数、比较大小或解不等式 【题型要点】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 此类涉及已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解． 一、x与f(x)的组合函数 【例1】若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________． 二、ex与f(x)的组合函数 【例2】已知f(x)(x∈R)有导函数，且∀x∈R，f′(x)>f(x)，n∈N*，则有(　　) A．enf(－n)<f(0)，f(n)>enf(0) B．enf(－n)<f(0)，f(n)<enf(0) C．enf(－n)>f(0)，f(n)>enf(0) D．enf(－n)>f(0)，f(n)<enf(0) 【例3】 设a>0，b>0，e是自然对数的底数，则(　　) A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a<b C．若ea－2a＝eb－3b，则a>b D．若ea－2a＝eb－3b，则a<b 命题角度二　已知函数单调性求参数的取值范围 【题型要点】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． 【提醒】　f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任意一个非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 【例4】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围． 题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 【题型要点】含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： (1)方程f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内； (3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． 【例】已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a>0.讨论f(x)的单调性． 二、高效训练突破 一、选择题 1．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－