专题3.4 高考解答题热点题型（一）利用导数证明不等式-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.4 高考解答题热点题型（一）利用导数证明不等式 目录 一、题型全归纳 1 题型一 单变量不等式的证明 1 类型一 直接将不等式转化为函数的最值问题 2 类型二　转化为两个函数的最值进行比较 3 类型三　构造函数证明不等式 4 题型二 双变量不等式的证明 5 题型三 证明与正整数有关的不等式问题 6 题型四 两个经典不等式的应用 7 二、高效训练突破 8 一、题型全归纳 题型一 单变量不等式的证明 【题型要点】单变量不等式的证明方法 （1）移项法：证明不等式f（x）＞g（x）（f（x）＜g（x））的问题转化为证明f（x）－g（x）＞0（f（x）－g（x）＜0），进而构造辅助函数h（x）＝f（x）－g（x）； （2）构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数； （3）最值法：欲证f（x）＜g（x），有时可以证明f（x）max＜g（x）min. 类型一 直接将不等式转化为函数的最值问题 【题型要点】将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由或直接证得不等式. 【例1】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明 类型二　转化为两个函数的最值进行比较 【题型要点】(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． (2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．　 【例2】(2020·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 类型三　构造函数证明不等式 【题型要点】(1)将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式． (2)直接将不等式转化成某个函数的最值问题．若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明f(x)<g(x)． 【例3】(2020·江西赣州模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 题型二 双变量不等式的证明 【题型要点】破解含双参不等式证明题的3个关键点 （1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式. （2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. （3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 【例1】已知函数f（x）＝ln x－ax2＋x，a∈R. （1）当a＝0时，求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程； （2）若a＝－2，正实数x1，x2满足f（x1）＋f（x2）＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥. 题型三 证明与正整数有关的不等式问题 【题型要点】函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的． 【例1】已知函数f（x）＝ln（x＋1）＋. （1）若x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围； （2）求证：ln（n＋1）＞＋＋ ＋…＋（n∈N*）. 题型四 两个经典不等式的应用 【题型要点】逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程. （1）对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立. （2）指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）. 【例1】已知函数f（x）＝x－1－aln x. （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）证明：对于任意正整数n，. 二、高效训练突破 1.(2020·四省八校双教研联考)已知函数f(x)＝ax－axln x－1(a∈R，a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x>1时，求证：>－1.