专题3.6 高考解答题热点题型（三）利用导数探究函数的零点问题-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.6 高考解答题热点题型（三）利用导数探究函数的零点问题 目录 一、题型全归纳 1 题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数 1 题型二 已知零点存在情况求参数范围 4 题型三 函数零点性质研究 6 二、高效训练突破 9 一、题型全归纳 题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数 【题型要点】判断函数零点个数的3种方法 直接法 令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数 定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 【例1】（2020年新课标全国三卷）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求b． （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明： (1)f′(x)在区间存在唯一极大值点； (2)f(x)有且仅有2个零点． 题型二 已知零点存在情况求参数范围 【题型要点】解决此类问题常从以下两个方面考虑 (1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足条件． (2)先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解． 【例1】(2020·重庆调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间； (2)设函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围． 【例2】已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a. 题型三 函数零点性质研究 【题型要点】本题型包括两个方向：一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法)；二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧)． 能够利用等价转换构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等．求解时一般先通过等价转换，将已知转化为函数零点问题，再构造函数，然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，并结合分类讨论，通过确定函数的零点达到解决问题的目的． 【例1】 (2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x－. (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； (2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线． 【例2】已知函数f(x)＝x2＋(1－a)x－aln x，a∈R. (1)若f(x)存在极值点为1，求a的值； (2)若f(x)存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1＋x2＞2. 二、高效训练突破 1.已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a. 2.(2020·武汉调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论g(x)＝f(x)(x－)在区间[0，1]上零点的个数． 3．(2020·长春市质量监测(二))已知函数f(x)＝ex＋bx－1(b∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若方程f(x)＝ln x有两个实数根，求实数b的取值范围． 4．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝ax－a＋1－(其中a为常数，且a∈R)． (1)若函数f(x)为减函数，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围，并说明理由． 5.(2020·唐山模拟)已知函数f(x)＝－4ax＋aln x＋3a2＋2a(a＞0)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f(x1)＋f(x2)的最大值． 6.(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围． 7.(2020年新课标全国一卷)已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 8.(2020年新课标全国三卷)已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 1 / 7 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 2021年高考理科数学一轮复习：题型