专题3.8 定积分与微积分基本定理-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.8 定积分与微积分基本定理 目录 一、题型全归纳 1 题型一 　定积分的计算 1 类型一　利用微积分基本定理求定积分 2 类型二　利用定积分的几何意义求定积分 2 题型二 　利用定积分求平面图形的面积 3 题型三 定积分在物理中的应用 4 二、高效训练突破 5 一、题型全归纳 题型一 　定积分的计算 【题型要点】1.计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．　 【易错提醒】　当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分． 2.运用微积分基本定理求定积分时的4个关键点 (1)对被积函数要先化简，再求积分． (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分． (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错． 类型一　利用微积分基本定理求定积分 【例1】计算下列定积分： (1)；(2)；(3). 类型二　利用定积分的几何意义求定积分 【例2】计算下列定积分： (1)； (2). 题型二 　利用定积分求平面图形的面积 【题型要点】1.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论 2.设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有： 　 (1). (2). (3) (4). 【例1】由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为__________． 【例2】曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积为________． 题型三 定积分在物理中的应用 【题型要点】定积分在物理中的两个应用 (1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程. (2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是.　 【例1】物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m；力的单位： N)． 二、高效训练突破 一、选择题 1．定积分的值为(　　) A．e＋1　　　　　　　 B．e C．e－ D．e＋ 2．已知t是常数，若，则t＝(　　) A．1　　　　 B．－2 C． －2或4 D．4 3.设，则(　　) A．1 B．sin D． sin 2 D．2sin 4.若，则＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 5.若f(f(1))＝1，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 6.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 7.的值为(　　) A. B. C．π D．2π 8．如果1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为(　　) A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J 9.由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为(　　) A. B．4－ln 3 C．4＋ln 3 D．2－ln 3 10．已知f(x)＝，则(　　) A．2＋π B. C． －2＋ D.－2 D． 二、填空题 1.一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J. 2.若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f′(1)＝________，＝________． 3.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积