专题02 以分段函数为背景的解不等式型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题02 以分段函数为背景的解不等式型 [高考真题] （2020·新课标卷Ⅰ·理数·12）已知函数． （1）画出的图像； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）略；（2）. 【分析】（1）略；（2）在同一直角坐标系内作出函数、的图象，根据图象即可解出． 【解析】（1）略； （2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示： 由，解得． 所以不等式的解集为． [强化训练] 1.（2020·扬州三检·12）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】作出函数图象，考察动区间间图象的单调性，易得，当 即时，，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故, 所以不等式的解集为. 2. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 【答案】　D 【解析】　法一：分类讨论法 ①当即x≤－1时， f(x＋1)<f(2x)，即为2－(x＋1)<2－2x， 即－(x＋1)<－2x，解得x<1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]． ②当时，不等式组无解． ③当即－1<x≤0时， f(x＋1)<f(2x)，即为1<2－2x，解得x<0. 因此不等式的解集为(－1,0)． ④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意． 综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法 ∵f(x)＝ ∴函数f(x)的图象如图所示． 结合图象知，要使f(x＋1)<f(2x)， 则需或 ∴x<0，故选D. 3.已知f (x)＝(x＋1) |x|－3x．若对于任意x∈R，总有f (x)≤f (x＋a)恒成立，则常数a的最小值是______． 【答案】3＋． 【提示】f (x)＝，作出函数f (x)的图象得： 作平行于x轴的直线l与f(x)图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M，N，如图所示，则a的最小值即为线段MN长的最大值．设直线l的方程为y＝t， 可得MN＝3＋＋＝3＋＝3＋ ≤3＋＝3＋ 所以，a的最小值是3＋ 【说明】 1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a的最小值即为线段MN长的最大值． 2.本题也可使用导数知识解决. 4.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是