专题03 三次函数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题03 三次函数型 [高考真题] （2020·浙江·9）已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（ ） A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0 【答案】C 【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设，欲满足题意，从形上看则必须在x≥0 时有两个重合的零点才可以，对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【解析】因为，所以且，设，则的零点为 当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以； 当时，则，，要使，必有. 综上一定有. 故选：C 点评：①本题使用了作三次函数示意图的方法——序轴标根法，它是高次不等式的常用解法. “序轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”， 所谓序轴就是省去原点和单位，只表示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向（自右往左，蛇形穿根，奇（次幂）过偶（次幂）不过），这种画法俗称“穿针引线法”.用数轴标根法解不等式的步骤：移项、求根、标根、画线、选解. ②本题要求学生功底扎实,思维层次要高, 尤其对于处理函数、不等式等题型数形结合思想数轴标根法的优势就体现出来,所谓胸有蓝“图”，一路坦途. [强化训练] 1.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【解析】因为,且由得: 或 所以函数的图象是增-减-增型，且在或处取得极值 欲使函数在内有且只有一个零点，当且仅当 解之得. 当时，增；时，减， 故，， 所以在上的最大值与最小值的和为． 2.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 . 函数的一个极值点是，所以以为界与比较，进行分类讨论. ①当时，如图一，由得，或，欲使函数在区间上单调递增，只需，即. ②当时，如图二，在区间上单调递增，满足题意. 综上知，实数的取值范围是． x y O a （图二) a O x y （图一） 4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 5.设函数，若对于任意的都有成立，