专题05 形如f(x)e^x＋g(x)型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题05 f(x)ex＋g(x)型 [高考真题] （2020·新课标Ⅰ·理科·21）已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】 【分析】遇到 f(x)ex＋g(x)的形式变形为ex·h(x) ，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题. 【解析】等价于. 设函数，则 . （i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意. （ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥. 所以当时，g(x)≤1. （iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤. 由于，故由（ii）可得≤1. 故当时，g(x)≤1. 综上，a的取值范围是. 点评： 解决形如f(x)ex＋g(x)常见结论ex≥x＋1（有时甚至ex≥x＋1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点． [强化训练] 1.已知ex≥1＋ax对任意x∈[0,＋∞)成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 (－∞,1] 【解析】根据常用不等式ex≥x＋1,且y＝x＋1与y＝ex相切于(0,1),又y＝ax＋1也过点(0,1),观察图象可知,要使ex≥1＋ax对任意x∈[0,＋∞)成立,则a≤1,即实数a的取值范围为(－∞,1]. 2.已知≥t对一切正实数x恒成立，则实数t的最大值为________． 【答案】 1 【解析】因为ex≥x＋1,所以≥＝1.则t≤1,所以t的最大值为1. 3.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时,f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析一】 由f′(x)＝ex－1－2ax,又ex≥x＋1,所以f′(x)＝ex－1－2ax≥x－2ax＝(1－2a)x, 所以当1－2a≥0,即a≤时