1.3 二项式定理（教案）-2020年高中同步教与学数学（人教B版选修2-3）

高中同步教与学·全新教案(活页) 第一章计数原理 1.3二项式定理 3.1二项式定理(1课时) 教学目标 情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养学生观察、分析、归纳、总结的 知识与技能 能力 通过本节学习,可以把形如(a+b)的式子展开,并可以求其 中某些特殊项 重点难点 过程与方法 通过代数式的乘法,归纳总结了(a+b)的展开形式,并用公二项式定理 式的形式给出 难点 二项式定理的应用 《案例(-)》 教学过程》 复习引入 三、典型例题 (1)(a+b)2=a2+2ab+b2=C2a2+Clab+C2b2; 例1:展开(1+ (2)(a+b)=a+3a b+3ab2+b=Caa+Ca b+C3 ai 解法一:(1+ (3)(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各项都是4次 式,即展开式应有下面形式的各项:a4,ab,a2b,ab,b,展开式(x)=1+4+5+4 x,xxC 各项的系数:上面4个括号中,每个都不取b的情况有1种,即 解法二:(1+ (x+1)4= (rl+Cix+ C种,a的系数是C;恰有1个取b的情况有C种,a3b的系数 是C,恰有2个取b的情况有C4种,a2b2的系数是C,恰有3个 x2+C3x+1)=1 取b的情况有C种,ab3的系数是C,有4个都取b的情况有C4 种,a的系数是C(a+6)=C+Cab+Cdb+Cab+例2:(1)求(+3)的展开式的常数项 二、讲解新课 (2)求(+ 的展开式的中间两项 1.二项式定理:(a+b)"=C0a”+Ca”b+Cna”-2b2 Ca"b+…+Cmb"(n∈N+) 解:∵T1=C5 教师引导学生记忆理解二项式定理的展开式,分析规律和 特征 ∴(1)当9-r=0,r=6时展开式是常数项,即常数项为 2.二项式定理的证明 T=C·3=2268 具体证明过程如下 (a+b)是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时,有两种选 3+)的展开式共10项,它的中间两项分别是第 择,选a或b,由分步乘法计数原理可知展开式共有2n项(包括5项第6项,7=C}·3°x=42x,T,=C8·3”号 同类项),其中每一项都是a'b”的形式,r=0,1,…,n;对于每 378√x3 项ab”「,它是由r个(a+b)选了a,n-r个(a+b)选了b得到 的,它出现的次数相当于从n个(a+b)中取r个a的组合数,将 四、变式训练 教师展示变式训练题目,学生动手解答 它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定 3.二项式系数:它有n+1项,各项的系数Cn(r=0,1,…,n) 师生一起订正答案 叫展开式的二项式系数 展开(2 4.通项:Cna"b叫二项展开式的通项,用T-+1表示,即通项 5.系数问题:二项式定理中,设a=1,b=x,则(1+x)=1+ [(2x)6+C(2x)5+Cn(2x)4+C(2x)3+C(2x)2+ 高中同步教与学·全新教案(活页) C·(2x)+1] 五、课堂练习 64x2+192x2+240x+160+50+12+ 教材练习A 六、课堂小结 求(x+a)12的展开式中的倒数第4项 教师让学生回顾总结本节课的学习内容 解:(x+a)2的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10 学生思考讨论 项 1.二项式定理(a+b)"=Cna"+Clan1b+…+Cnab 3.求(1)(2a+3b)°,(2)(3b+2a)的展开式中的第3项 2.二项式展开式的通项公式T+1=Cna°b 解:(1)T2+1=C(2a)4(3b)2=2160a4b2 七、课后作业 (2)T2+1=C(3b)4(2a)2=4860ba2 教材习题1-3A第2~6题. 点评:(2a+3b)°,(3b+2a)°的展开后结果相同,但展开式中 的第r项不相同 板书设计》 复习引入 3.二项式的二项式系数和系数 四、变式训练 、讲解新课 典型例题 五、课堂练习 1.二项式定理的推导 六、课堂小结 2.二项展开式的通项 七、课后作业 《>秦例(=) 教学。过程 设置情境 问题1:某人投资10万元,有两种获利的可能供选择.一种因此(a+b)=C;a+C:ab+Ca2b2+Cab2+C:b 是年利率11%,按单利计算,10年后收回本金和利息.另一种 请同学们归纳、猜想(a+b)=? 利率9%,按每年复利一次计算,10年后收回本金和利息 般地,对于任意正整数n,上面的关系式也成立,即有 试问,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年后可 多得利息多少元? 分析:本金10万元,年利率11%,按单利计算,10年后的本 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫 利和是 做(a+b)的二项展开式 10×(1+11%×10)=21(万元) 在这里,教师应当指出,上面的定理严格来说是