数学思想方法在高中数学解题中的应用-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

数学思想方法在高中数学解题中的应用 ■姚铭赣 在高中数学问题的解决过程中,有必要 围绕问题建立完整的解决路径,以确保数学 问题与解决对策达到有效的对应,并提高解 决问题的准确性。 1.建立具体的函数模型,提高函数知 识点的接受效率。在实际的中学数学学习 过程中,我们不难发现教师讲授的功能知 识点是非常抽象的,这也是引起学生学习 困难的主要因素之一。为了有效解决这一 问题,教师需要在高中数学课堂中,为原始 的抽象功能知识建立特定的功能模型。这 样,可以大大降低学生的学习难度,提高学 生的学习效率。 例如,在学习“二次函数”这一部分相关 知识点的时候,为了提高学生的数学知识接 受效率,可以先确定具体的二次函数模型,用 数学语言表达即为f(x)=ax2+bx+c(a≠ 0)。再帮助学生进一步掌握二次函数的相关 性质,可以将其所包含的知识同样用数学语 言表示出来,如二次函数f(x)的对称轴为 - b 2a ;二次方程根与系数的关系,即两根之和 x1+x2=- b a ,两根之积x1x2= c a 等。把这 些原本学生难以理解与掌握的数学函数知识 点通过函数建模的方式清晰地展现出来,以 帮助学生更好地学习。 2.和谐化、直观化原则在不等式最值问 题中的应用。和谐原则是指转换问题的表达 方式,将条件和问题联系在一起并以符合数 学内部逻辑的形式表达它们。在改善或验证 方程式或方程式的最大值时,可以先分析现 有条件,使用已知方程式构造能形成的方程 式和数学关系。然后将问题的条件转换为方 程式,结合数字、形状和公式来解决问题。 例如,已知函数f(x)=cosx+cos2x, 求f(x)的最大值和最小值。先将三角函数 与二次函数挂钩,通过三角函数公式的转化, 把f(x)=cosx+cos2x 转 化 成 cosx+ 2cos2x-1;再将cosx 用t来表示,从而得出 f(t)=2t2+t-1这样的函数;最后通过画图 得出函数的最大值和最小值。 3.整体代换,化繁为简。整体代换是高 中整体数学思想的一个重要组成部分,主要 是根据新元性质,对整体计算公式进行代换, 从而将原来计算比较复杂的公式变得更加简 单,更加清晰并富有条理,以保证学生能够更 加轻松自如地运算。 例如,在计算(a1+a2+…+an-1)(a2+ a3+…+an-1+an)-(a2+a3+…+an-1)· (a1+a2+…+an-1+an)这个多项式的过程中, 如果按照题目的要求进行逐一计算分解,那么 整个求解过程十分复杂,并且计算量十分大。 如果将这个多项式进行变形,采用整体代换的 数学思想,则可以轻松地将这个题目解决。在 计算过程中我们假设a2+a3 +…+an-1为未知 数值X,则原来的数值可以表示为(a1+X)· (X+an)-X(a1+X+an),通过对该算式进行 进一步的简化分解,可以得到 X2+a1X+ anX+a1an-a1X-X2-anX,从而就能得到最 终的计算结果为a1an。 4.换元法在高中数学解题中的应用。换元 法也是数学思维的一种常用方法,使用此方法 解决问题,可以大大简化解决问题的步骤,并找 到问题中的隐藏内容。 例如,已知a、b 均大于2,试证明:ab> a+b。在分析题目的过程中,我们可以看出题 目中给出的有效条件极少,直接证明的难度较 大。我们可以先对不等式进行变形,即将ab> a+b转化为ab-(a+b)>0。然后进一步换 元,用m、n代替a、b进行分析证明。由于a、b 均大于2,那么可以设a 为m+2,b为n+2, m、n均大于0。此时ab-(a+b)=(n+2)· (m+2)-(m+2+n+2)=mn+n+m>0,因 为m、n均大于0,所以该不等式成立,所以原 不等式ab>a+b也同样成立。 作者单位:江西省鄱阳中学 21 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年7—8月 $$