例谈数据分析核心素养与数学学习-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

例谈数据分析核心素养与数学学习 ■宁 强 数据分析是研究随机现象的重要数学技 术,是大数据时代数学应用的主要方法,也是 “互联网+”相关领域的主要数学方法。数据 分析这一核心素养已经在近几年的高考题中 有所体现,从中我们也能体会到近几年高考 试题的变化,即对于数据分析越来越重视。 例题 为治疗某种疾病,某科研团队研 制出了甲、乙两种新药,为了知道哪种新药更 有效,进行了一系列动物实验。实验方案如 下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试 验。对于两只白鼠,随机选取一只施以甲药, 另一只施以乙药。一轮治疗结果得出后,再 安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠 比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止实 验,并认为治愈只数多的药更有效。 为了方便描述问题,约定:对于每轮实 验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白 鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若 施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治 愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都未治 愈或都治愈,则两种药均得0分。甲、乙两种 药的治愈率分别记为α和β,一轮实验中甲药 的得分记为X。 (1)求X 的分布列。 (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分 为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概 率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1 (i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b= P(X=0),c=P(X=1)。假设α=0.5,β= 0.8。 (i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为 等比数列。 (ii)求p4,并根据p4 的值解释这种实验 方案的合理性。 解析:(1)X 的所有可能取值为-1,0,1。 P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+ (1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β)。所以 X 的分布列如表1所示。 表1 X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β) α(1-β) (2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1。 因此 pi =0.4pi-1 +0.5pi +0.1pi+1,故 0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即(pi+1- pi)=4(pi-pi-1)。又因为p1-p0=p1≠0, 所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为 4,首项为p1 的等比数列。 (ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+ …+p1-p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+ (p1-p0)= 48-1 3 p1 。由于p8=1,故p1= 3 48-1 ,所以p4=p4-p3+p3-p2+p2+ p1+p1-p0= 44-1 3 p1= 1 257 。 p4 表示最终被认为甲药更有效的概率, 由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5、 乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概 率为p4= 1 257≈0.0039 ,此时得出错误结论 的概率非常小,说明这种方案合理。 评析:这道概率题综合性较强,考查了考 生综合运用知识的能力,也考查了考生的阅 读理解能力。我们做过后感觉并不算难,其 实只要正确理解题意,将其转化为大家熟悉 的离散型随机变量分布列及数列求通项问题 即可。题中给出了递推公式和两个条件,先 借用数列方法即可求出通项公式,算出结果。 再用小概率事件说明实验设计的正确性。 总之,统计概率主线的学习中应从以下几 方面入手:一是从课标的高度认识数据分析这 一数学学科素养;二是重视培养学生数据分析 的能力;三是增加学生的阅读量,重视应用;四 是关注学生对知识多角度的综合能力。 作者单位:山东省临沂第一中学 31 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年7—8月 $$