导数在高中数学解题中的运用分析-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

导数在高中数学解题中的运用分析 ■曹艳平 导数是数学微积分课程中的重要内容之 一。我们结合高中数学教材可以发现,函数 中的导数可以体现出函数的变化趋势,导数 在数学解题中具有重要的应用价值,一方面 可以实现对解题步骤的简化,引导同学们迅 速厘清习题中的数学知识脉络;另一方面也 可以有效提升同学们的数学解题速度和能 力。本文则结合实例分析导数在高中数学解 题中的应用。 1.导数在判定函数单调性中的应用 在函数单调性的分析中,可以应用导 数进行判断和评估,这一点与采用导数的 几何意义实现对曲线的变化规律进行分析 有所类似。应用导数判定函数的单调性, 不但具备一定的便捷性,也具有完善性,尤 其是在任何复杂函数的判定中都具有较高 的适用性。 例1 已知f(x)=xsinx,则f(-4), f 4π 3( ),f - 5π 4( ) 的大小关系是怎样的? 这 道题目是关于导数的单调性问题,因此需要 证明什 么 是 函 数,对 这 道 题 目 进 行 分 析, f(-4)=f(4),f -5π 4( )=f 5π 4( ),这里面 4, 4π 3 ,5π 4 都是在区间 π, 3π 2( ) 上。又因为导函 数f'(x)=sinx+xcosx<0,在 π, 3π 2( ) 上是 恒成立,因此f(x)在 π, 3π 2( ) 上为减函数。 由于 5π 4 <4< 4π 3 ,因 此 f 5π 4( ) >f(4)> f 4π 3( ),即f -5π 4( )>f(-4)>f 4π 3( )。对 这个题目进行分析时,同学们如果找到了正 确的解题思路,就会非常容易解题。 2.导数在求解方程根中的应用 在数学解题中,导数的应用比较广泛,在 方程求根中也可以应用导数法,实现对部分数 学习题的快速解答,这样可以将知识脉络采用 多元化形式系统地体现出来,为同学们深入理 解数学知识提供便利,实现对方程解中数的合 理判定。 例2 已知函数f(x)=-x3+3x2+ 9x,求其在区间[1,5]上 的 最 大 值。函 数 f(x)的导数即为f'(x)=-3x2+6x+9,对 其单调性进行分析,能够发现f(x)在区间 [-1,3]上 单 调 递 增,在 区 间(3,+ ∞), (-∞,-1)上单调递减。故f(x)在区间[1, 3]内单调递增,在区间[3,5]内单调递减。因 此在对其极值的研究中能够发现,在x=3 时,f(x)取得最大值,也就是f(3)=27。 3.导数在解答不等式中的应用 导数解题方法的应用范围比较广泛,也 进一步提升了数学解题的便利性。因此在高 中数学解题中,要重视对导数解题方法的应 用,以便提高解答问题的效率。其中在不等 式的解答中,也可以应用导数解题方法,不但 有助于降低不等式的解题难度,帮助同学们 在最短时间内突破数学解题难点,同时也有 助于培养同学们的自主探究能力,提升同学 们的数学解题自信心。 例3 已知x>1,求证:x>ln(1+x)。 在解答过程中,可以令f(x)=x,g(x)= ln(1+x),在此转化过程中可以发现f(x)> g(x)。针对转化知识可以对其进行导数单 调性的分析,以能够获取最终的解题结果。 总之,在高中数学解题中,要积极学习导 数的应用方法,学会举一反三,实现对导数的 灵活应用,不但能够有效节约解题时间,也有 助于提升解题的准确性,提升解题能力,促进 同学们的数学学习,实现对数学解题速度、能 力及素养的综合培养。 作者单位:河北省张家口市张北县第一中学 43 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年7—8月 $$