例析高中数学立体几何解题技巧-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

例析高中数学立体几何解题技巧 ■崔会杰 高中立体几何具有较多知识点,且较为 抽象,理解分析与学习的难度较大。针对立 体几何解题,应当充分把握其解题技巧,能够 准确理解立体几何中的相关关系,包括夹角、 垂直、平行及距离等,对此能够形成相应的概 念,并将其运用于解题之中,以此分割题目中 的几何图形,从而熟练掌握解题技巧。 1.通过画图辅助解题 立体几何解题过程中,应当能够正确分 析图形中各个角、点、面、线等之间的关系,以 此辅助图形绘制。 图1 例 1 有 一 四 棱 锥 P-ABCD,如图1所示,AB 垂直于AD,PA 垂直于底 面 ABCD,有CE∥AB,点 E 在AD 上,证明:CE⊥平 面PAD。 分析:依据题意得 PA⊥CE。同时有 CE∥AB,AB⊥AD,因此能够得出 CE⊥ AD。同时AD 与PA 相交于点A,据此能够 得出CE⊥平面PAD。 2.运用分割法解题 解答立体几何问题的过程中,可以基于 问题的考查情况进行分割,判断并分析部分 与整体之间的关系。 图2 例 2 现 有 三 棱 锥 P-ABC,如 图 2所 示,有 ∠APB = ∠APC = ∠BPC =60°,PA =4, PB=PC=2,求三棱锥的 体积。 分析:该题让求整体的体积,一般在解题 过程中会想到运用三角锥的体积公式V= 1 3Sh 求解。可以先求图2中△ABC 的底面 积,之 后 作 PH 与 底 面 垂 直,作 直 截 面 PAD,再利用三角锥体积公式进行求解。解 题过程中需要求解△PAD 的面积,但是由于 其长度不规则,因此面积求解较为复杂。可 图3 以运用分割法,如图3所示,延 长PB 至E 点,延长 PC 至F 点,且PE=PF=4,此时三棱 锥P-AEF 属于正三棱锥,由此 即可得 EF 的 中 位 线 即 为 边 BC。通过以上分割之后,能够 得出 BC EF= 1 2 ,可得S△PBC S△PEF = 1 4 。分析图中的 三 棱 锥 A-PEF 与 三 棱 锥A-PBC,可 得 VA-PBC VA-PEF = 1 4 。同时结合VA-PBC=VP-ABC,能够得 出 VA-PBC = 1 4VA-PEF ,最 终 得 出 VA-PBC = 1 4VA-PEF= 4 32 。 3.加强立体几何的练习 在不断的练习过程中,能够熟练掌握解 题技巧,不断丰富立体几何的解题方式与解 题思路,提升解题能力。 例3 如图4所示,PA 垂直于圆O,其中 图4 圆周上有一点C,AB 为圆 O 的直径,已知PA=PB= 2r,∠BAC=α,则异面直线 AC 与 PB 之间的距离为 多少? 分析:计算时先在直线 PB 上选取任意一点 M,使得AC 能够与 MD 垂直,垂直点为D,并且AB 与MH 能够垂直, 垂直点为 H。假设 MH=x,由平面ABC 和 MH 垂直,可知AC⊥HD。分析题目中的各个 条件,能够得出MD2=x2+[(2r-x)sinα]2= (sin2α +1)x2 -4rxsin2α +4r2sin2α = (sin2α+1)x- 2rsin2α 1+sin2α( ) 2 - 4r2sin4α (1+sin2α)2 。 MD 的最小值在x= 2rsin2α 1+sin2α 位置,此时能够 计算出两异面直线间的距离。 作者单位:河北省张家口市张北县第一中学 61 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年7—8月 $$