函数、方程、不等式密不可分-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

函数、方程、不等式密不可分 ■田玉凤 函数、方程、不等式三者之间关系密切, 可以相互转化。方程f(x)=0的实根就是 函数y=f(x)的零点,也是函数y=f(x)的 图像与x 轴交点的横坐标,不等式f(x)>0 (或f(x)<0)的解集是函数y=f(x)的图 像位于x 轴上方(或下方)时的自变量x 的 取值集合。 一、方程与函数 例1 求方程 log2(x+4)=5x 的实根 个数。 解析:令f(x)= log2(x+4),g(x)= 5x,在同一个平面直角坐标系中分别作出两 图1 个函数的图像,如图1 所示。 法一:描点作图法 (过程略),见图1。 法二:图像变换法。 先作出y=log2x 的图 像,然后将y=log2x 的图像向左平移四个单 位得到y=log2(x+4)的图像,最后保留y= log2(x+4)在x 轴上方的图像,将x 轴下方 的图像翻折到x 轴的上方(即关于x 轴对 称),就得到f(x)= log2(x+4)的图像。 作图时,注意渐近线问题,即图像无限接近于 x=-4。由 图 像 可 以 看 出 函 数 f(x)= log2(x+4)与g(x)=5x 的图像有三个交 点,所以方程 log2(x+4)=5x 有三个实 数根。 点评:此题无法直接求出方程的实根,但 我们可以将方程f(x)=g(x)的实根个数问 题转化成两个函数y=f(x)和y=g(x)的 图像交点个数问题。 二、不等式与函数 例2 对于任意的x∈ 0, 1 3( ),不等式 x2<logax(a>0,a≠1)恒成立,求a 的取值 范围。 解析:令f(x)=x2,g(x)=logax(a> 0,a≠1),若a>1,对于任意的x∈ 0, 1 3( ), g(x)的图像都在f(x)的图像的下方,如图2 图2 所示,所以x2>logax(a> 0,a≠1)恒成立,故不符合 题意。若0<a<1,要想对 于任意的x∈ 0, 1 3( ),不等 式x2<logax(a>0,a≠1) 恒成立,只需让g(x)的图像在都在f(x)的图 图3 像的上方,如图3所示,于 是只需 1 3( ) 2 ≤loga 1 3 ,所 以loga 1 3≥ 1 9=logaa 1 9,所 以a 1 9≥ 1 3 ,所以a≥ 13( ) 9 = 1 19683 ,所以1>a≥ 1 19683 。综上所述,a的 取值范围为 1 19683 ,1[ )。 点评:不等式f(x)>g(x)在x∈(m, n)上恒成立的问题,可以转化成“当x∈(m, n)时,函数y=f(x)的图像恒位于函数y= g(x)的图像的上方”来解决。 三、不等式与方程 例3 如果关于x 的不等式x2-ax- 4a2<0(a>0)的解集是(x1,x2),且x2- x1=4 17,求a的值。 解析:因为不等式x2-ax-4a2<0(a> 0)的解集是(x1,x2),所以方程x2-ax- 4a2=0的两个实根是x1,x2。由根与系数的 关系可得x1+x2=a,x1x2=-4a2,而(x2- x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=a2+16a2= 17a2=(4 17)2,解得a2=16。又因为a> 0,所以a=4。 点评:知道了不等式f(x)<0的解集, 也就知道了对应方程f(x)=0的实根。 作者单位:江苏省阜宁县实验高级中学 71 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年7—8月 $$