解析数学期望两考点-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

解析数学期望两考点 ■田 强 离散型随机变量的数学期望的求法是每 年各省高考题考查概率统计必考的一个内 容,所以熟悉其题型、摸透其考查方式是很有 必要的。 考点一、基本题型———确定随机变量分 布列不设防 求离散型随机变量的数学期望的关键是 确定随机变量的分布列,如果随机变量取值 时所对应的概率值较容易求出,则这种题属 于较容易的题型。 例1 “过桥米线”是云南人民一种非常 喜爱的餐饮食品,在云南某地区“过桥米线” 分为A,B,C,D,E 五种品牌的店,其中A 品 牌店40家,B 品牌店30家,C 品牌店25家, D 品牌店5家。 (1)为了加强对食品卫生的监督管理工 作,该地区的食品安全管理局决定对这100 家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进 行抽样调查,被调查的店共有20家,则B,C 品牌店各应抽取多少家? (2)为了使经营更丰富,更具吸引力,所 有40家A 品牌店举办优惠活动:在一个盒 中装有形状、大小相同的4个白球与6个红 球。顾客可以一次性从盒中抽取3个球,若3 个球均为红色则打五折,2红球1白球则打 八折,1红球2白球则打九折,其余情况没有 折扣。设所抽取的红球的个数为X,求X 的 数学期望。 解析:(1)由题意得,应抽查 B 品牌店 30 100×20=6 (家),应抽查 C 品牌店 25 100× 20=5(家)。 (2)离散型随机变量X 的取值为0,1,2, 3,于是 P X=0( )= C04C36 C310 = 1 6 ,P X=1( ) = C14C26 C310 = 1 2 ,P X=2( ) = C24C16 C310 = 3 10 , P X=3( )= C34C06 C310 = 1 30 。所以 E X( )=0× 1 6+1× 1 2+2× 3 10+3× 1 30= 6 5 。 考点二、与统计知识相结合———侧重随 机变量概率值的求法 许多考查数学期望的主观综合题,其背 景往往不是单纯求概率值套公式得出数学期 望值,而是以其他知识为背景,通过知识交汇 的形式来考查求解数学期望,而这些交汇知 识最多的是统计知识,比如频率分布直方图、 线性回归及正态分布等。 例2 某高中学校为了解高二学生数学 的学业水平达标情况,对全体高二学生进行 了一次模拟考试,成绩出来后进行了分析,测 试成绩X 服从正态分布N(70,σ2)(满分为 100分),且 P(X<60)=0.1,P(X≥90)= 0.04,现从高二学生中随机抽取3人。 (1)若事件A=“抽取的3位同学的数学 成绩在区间[70,80),[80,90),[90,100]内各 有1位”,求P A( )。 (2)若抽到的3位同学数学成绩在区间 [60,80]内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布 列和数学期望。 解析:(1)由题知,P(70≤X<80)= 1 2- P(X<60)=0.4,而P(X≥90)=0.04,所以 P(80≤X<90)=0.1-0.04=0.06,所以 P A( )=A33×0.4×0.06×0.04=0.00576。 (2)因为 P(60≤X≤80)=1-2P(X< 60)=0.2,所以ξ服从二项分布B(3,0.2),且ξ= 0,1,2,3,P(ξ=0)=0.83=0.512,P(ξ=1)=3× 0.2×0.82=0.384,P(ξ=2)=3×0.22×0.8= 0.096,P(ξ=3)=0.23=0.008,所以ξ的分布列如 表1所示,ξ的数学期望为E(ξ)=3×0.2=0.6。 表1 ξ 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 总之,统计知识与概率的交汇为目前高 考考查概率主观题型的热点,所以同学们在 平时的训练与学习中,要侧重于统计知识与 概率的交汇题型。 作者单位:河北省青县第一中学 81 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年7—8月 $$