从数学运算能力谈数学核心素养的培养-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

从数学运算能力谈数学核心素养的培养 ■郭 旭 高中阶段的数学运算中要凸显演绎推 理、数学思维品质的形成,是小学和初中阶段 之后对于数学运算素养的进一步提高,只有 掌握了恰当的提高数学运算素养的方法,才 能达到事半功倍的效果。 1.立足课堂,扎实运算基础,是培养数学 运算素养的根本。功夫下在课堂,让课堂成 为提高学生运算能力的主阵地。 2.转变观念,加强运算训练,是培养数学 运算素养的保障。学生充分利用在校时间, 通过自己出题,限时训练,在这样的学习模式 下,学生可以熟练掌握运算法则。 3.聚焦核心,关注思维发展,是培养数学 运算素养的升华。 以解析几何综合题为例,大多数学生几 乎到了“心有余悸”的地步。究其原因,可以 概括为两点:一是“消不去”,即设定参数消不 了。二是“算不对”,即运算化简出错。解决 它们的方法便是寻求“变量统一”,这一过程 中逻辑推理能力起着至关重要的作用。 图1 例题 如 图1所 示,已知P 是y 轴左侧 (不含y轴)一点,抛物线 C:y2=4x上存在两个不 同的点A,B 满足PA, PB 的中点均在C上。 (1)设AB 的中点为M,证明:PM⊥y轴。 (2)若P 是半椭圆x2+ y2 4=1 (其中x< 0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围。 分析:此题的解答思路较明显,我们较容 易建立解决方案,利用已知条件,通过证明 yM=yP,构建S△PAB 与xP 或yp 的函数解析 式,利用变量统一思想求函数的值域。 3.1合理引参,解决“消不去”的问题,探 究运算方向。 学生中常见的引参做法有:方法一,在设 点A,B 的坐标时,有引入四个参数的,如 A(x1,y1),B(x2,y2),并没有充分利用已知 条件“点在曲线上”,其中y21=4x1,y22=4x2, 且引入过多的参数,导致运算时因理不清主 线而失败;方法二,利用x1,x2 将点A,B 设 成A(x1,4x1),B(x2,- 4x2),虽然参数 由四个减少到两个,但由于存在根式,从而加 大了运算难度。 故在引参时,可以根据已知点A,B 所在 的抛物线方程和几何图形的对称性来设点的 坐 标,只 需 要 引 入 两 个 参 数 y1,y2,设 A 14y 2 1,y1( ),B 14y 2 2,y2( ),便可以高效地解 决引参的问题。 3.2明晰算理,解决“算不对”的问题,选 择恰当的运算方法。 第(2)小题中求△PAB 的面积,算法有 很多,一般较为容易想到的有:方法一,以边 AB 为底、P 为顶点的△PAB,其面积可表示 为S△PAB= 1 2 AB h ;方法二,利用 AP , BP 及 夹 角,即 S△PAB = 1 2 AP · BP sin∠APB。 显然方法二需表示三个量,而方法一只 需要表示两个量就可以,但大部分同学选择 了方法二。这种方法学生并不陌生,平时训 练的较多,但是无论计算 AB 还是h,都有 一定的运算量,且到最后还要变量统一,转化 为求函数值域的问题。在限时测试中运算能 力不过硬的学生很容易放弃。 怎么求S△PAB 更方便? 思维起着非常重要 的作用,高考数学题一般出题规律是做第二问 通常要用到第一问的结论,根据第一问的结论, 结合该题特定的几何特征发现面积用水平宽乘 铅垂高的算法,即S△PAB= 1 2 PM y1-y2 。 可以“化斜为直”,也就是把斜着的线段的长 度 (x1-x2)2+(y1-y2)2 转化为垂直、水 平的线段的长度 x1-x2 或 y1-y2 ,从而 提高运算效率。 作者单位:吉林省长春希望高中 12 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年7—8月 $$