浅谈铅垂高法在函数中的应用-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

浅谈铅垂高法在函数中的应用 ■邹雅妮 摘要:在复习一次函数、反比例函数、二 次函数的过程中,笔者发现有一种方法贯穿 其中,它不仅在选择题或填空题中可以快速 地判断是不是函数及自变量的取值范围,还 可以有效地解决一次函数的行程问题,以及 反比例函数和二次函数中不规则的三角形面 积问题,这个方法就是铅垂高法。 关键词:函数;一次函数;反比例函数;二 次函数;三角形面积;铅垂高法 在复习函数相关知识的过程中,笔者发 现反比例函数和二次函数的综合题里多数要 求三角形的面积,而且是三边都不与坐标轴 平行的三角形面积,一般会采用割补法来求 解,但有时采用铅垂高法会更加方便,并且这 种方法也适合解决其他函数问题。现总结如 下,以供读者参考。 一、铅垂高定理 在数学三角形的概念中是指三角形的一 个顶点沿垂直向下画一条线交于对应的一条 边的长度(另外两个顶点在水平线上的宽称 为水平宽,有别于边长),铅垂高乘以水平宽 的一半即为三角形的面积。 图1 如图1所示,过△ABC 的三个顶点分别作出与水 平垂直的三条直线,外侧两 条 直 线 之 间 的 距 离 叫 △ABC 的“水平宽”(a),中 间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 △ABC 的“铅垂高”(h)。S△ABC= 1 2ah ,即三 角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一 半。 证明如下:S△ABC=S△ABD+S△ACD= 1 2a1h+ 1 2a2h= 1 2h (a1+a2)= 1 2ah 。 二、具体运用 例1 如图2所示,在平面直角坐标系 图2 xOy 中,直线y= 1 2x+2 与x 轴交于点A,与y 轴交于点C, 抛物线y=ax2+bx+c的对 称轴是x=- 3 2 且经过 A,C 两点,与x 轴的另一交点为B。 (1)①直接写出点B 的坐标;②求抛物 线的解析式。 (2)若P 为直线AC 上方的抛物线上的 一点,连接 PA,PC,求△PAC 面积的最大 值,并求出此时点P 的坐标。 分析:(2)根据三角形的面积公式,可知 △APC 的面积无法直接通过底和高算出。 若我们过点P 作x 轴的垂线与直线AC 交于 点F,则△APC 被分成了△APF 和△CPF 两部分,所以我们只要算出了这两个三角形 的面积,则△APC 的面积就得到了。要计算 两个小三角形的面积,就都可以用PF 作为 底边,而它们的高可以通过点A 和点C 的横 坐标得到。关键在于计算 PF 的值,垂直于 x 轴的线段的长度等于两端点中的较大纵坐 标减去较小纵坐标。 解:(1)①B(1,0)。(过程略) ②在y= 1 2x+2 中,当x=0时,y=2; 当y=0时,x=-4。所以C(0,2),A(-4, 0)。把A(-4,0),B(1,0),C(0,2)代入y= ax2 +bx +c,得 0=16a-4b+c, 0=a+b+c, 2=c, ì î í ïï ïï 解 得 a=- 1 2 , b=- 3 2 , c=2。 ì î í ï ï ï ï ïï 所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= - 1 2x 2- 3 2x+2 。 (2)如图2所示,过点 P 作PF⊥x 轴, 交 AC 于点F。设点 P 的横坐标为m,则 22 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年7—8月 -4<m<0。所以 P m,- 1 2m 2- 3 2m+2( ), F m, 1 2m+2( )。PF=yP-yF=- 1 2m 2- 3 2m+2- 1 2m+2( ) =- 1 2m 2-2m。所 以 S△PAC= 1 2PF xc-xA = 1 2 - 1 2m 2-2m( )× 10-(-4)=-m2-4m=-(m+2)2+4。 所以当m=-2时,△PAC 的面积有最大值 是4,此时P(-2,3)。 例2 如图3所示,一次函数y=kx+b 与反比例函数y= a x 的图像在第一象限交于 A,B 两点,B 点的坐标为(3,2),连接 OA, OB,过B 作BD⊥y 轴,垂足为点D,交OA 于点C,若OC=CA。 图3 (1)求一次函数和反比例函数的表达式。 (2)求△AOB 的面积。 解:因为B(3,2)在反比例函数y= a x 的 图像上,所以a=3×2=6。所以所求的反比 例函数解析式为y= 6 x 。因为BD⊥y 轴于 点D,所以DB∥x 轴。因为平行线间的距离 处处相等,所以点D 的纵坐标和点C 的纵坐 标都与点B 的纵坐标2相等,所以点 D(0, 2)。设点C 为(m,2),点A 为 n, 6 n( )。因为 一条线段中点的纵坐标等于整条线段两端点 的纵坐标和的一半,即yc= 1 2 (y0+yA),所 以 1 2 0+ 6 n( )=2,所以 6 n=4 ,解得n= 3