构建基本模型解决中学锐角三角函数的实际问题-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

构建基本模型解决中学锐角三角函数的实际问题 ■王永琼 锐角三角函数是中学数学知识体系的重 要构成部分,也是学生学习的重、难点。学生 在解决锐角三角函数的实际问题时,总是出 现这样或那样的错误。虽然学生通过学习锐 角三角函数的概念,有了一定的知识基础,但 在具体的实际问题中如何构建直角三角形, 并根据已知条件选择恰当的锐角三角函数, 还是有一些困难的,易混淆,也易出错[1]。 利用锐角三角函数和勾股定理的知识综 合解决实际生活中的问题,可以提高学生分 析问题、解决问题的能力,还可以通过这样的 方式,将数形结合的数学思想方法传递给 学生。 下面列举三个基本模型,以帮助学生解 决锐角三角函数在实际生活中的应用问题。 一、构建一个直角三角形模型 根据题意构建含已知角的直角三角形, 把题目中的已知和未知有效地沟通起来。 例1 如图1,某公园入口处原有三级台 阶,每级台阶高为18cm,宽为30cm,为方便残疾 人通行,现将台阶改为斜坡,设台阶的起点为 A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC 的坡度 为 1 5 。求AC的长度。 图1 解析:过点B 作BD⊥AC 于点D,根据 题意得AD=2×30=60(cm),BD=18×3= 54(cm)。 因为 斜 坡 BC 的 坡 度i= 1 5 ,所 以 在 Rt△BCD 中,i= BD CD = 1 5 ,所 以 CD = 5BD=5×54=270(cm)。 所以AC=CD-AD=270-60=210(cm)。 点评:这道题是考查解锐角三角函数的 实际应用即坡度问题,注意掌握坡度的定义, 注意数形结合思想的应用。通过辅助线(作 高线)的作法,构建出直角三角形,从而问题 得以解决。 二、构建“直角三角形+矩形”模型 如果梯形的内角中有已知角时,一般过 较短的底边作梯形的高,可构建出含已知角 的直角三角形和矩形。 例2 如图2所示,在电线杆上的C 处 引拉线CE、CF 固定电线杆,拉线CE 和地面 成60°角,在离电线杆6m 的B 处安置测角 仪,在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°, 已知测角仪的高AB 为1.5m,求拉线CE 的 长(结果保留根号)。 图2 解析:过点 A 作AH⊥CD,垂足为 H, 由 题 意 可 知 四 边 形 ABDH 为 矩 形, ∠CAH=30°,所以AB=DH=1.5m,BD= AH=6m。 在Rt△ACH 中,tan∠CAH= CH AH 。 所以 CH =AH ·tan ∠CAH =6× tan30°=6× 3 3=23 (m)。 因为DH=1.5,所以CD=CH+DH= (23+1.5)m。 因为 在 Rt△CDE 中,∠CED =60°, sin∠CED= CD CE ,所以 CE= CD sin∠CED= 23+1.5 sin60° = (4+ 3)m。 点评:这道题是考查解锐角三角函数的 实际应用即仰角俯角问题,注意掌握仰角、俯 角的定义,注意数形结合思想的应用。通过 52 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年7—8月 辅助线的作法,构建出含已知角的直角三角 形和矩形,从而问题得以解决。 三、构建“有公共高的双直角三角形” 模型 如果三角形中,已知两个角和夹边求高, 以及求其他的边长的问题,一般通过作高线, 可构建出含有公共高的双直角三角形模型, 利用方程的思想方法解决问题。以下两个模 型的最后结果,还可以作为公式加以应用,在 解决填空题、选择题时,可直接代用公式计算 得出答案。 如图3所示,已知△ABC 中,BC=a, ∠ABC=α,∠ACD=β,求△ABC 的高AD。 图3 模型1:作AD⊥BC 于点D,设AD=h。 在 Rt△ABD 中,tanα= AD BD ,所 以 BD= AD tanα= h tanα 。 在Rt△ACD 中,tanβ= AD CD ,所以CD= AD tanβ = h tanβ 。 因为BC=BD+CD,所以a= h tanα+ h tanβ ,所以AD=h= a 1 tanα+ 1 tanβ 。 模型2:如图4所示,作 AD⊥BC 于点 D,设AD=h。 图4 在 Rt△ABD 中,tanα= AD BD ,所以BD= AD tanα= h tanα 。 在 Rt△ACD 中,tanβ= AD CD ,所以CD= AD tanβ = h tanβ 。 因为BC=BD-CD,所以a= h tanα- h tanβ ,所以AD=h= a 1 tanα- 1 tanβ 。 例3 如图5所示,某数学兴趣小组为测 量教学楼CD 的高,先在 A 处用高为1.5m 的测角仪测得教学楼顶端 D 的仰角∠DEG 为30°,再向前走20m到达B 处,又测得教 学楼顶端 D 的仰角∠DFG 为