“零点降级”在函数中的应用-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

*宫春雨(1966.08-),性别:男;籍贯:安徽省阜阳市太和县;民族:汉;最高学历:研究生; 职称:中教高级(副高);研究方向:中学数学教育教学。 “零点降级”在函数中的应用* ■宫春雨 导数在函数中的应用,是中学数学中的 一个重要内容,所涉及的问题一般是中档偏 难的问题。在用导数解决函数问题时,有时 需要研究一个函数的函数值,而求这个函数 的函数值,可能比较麻烦,甚至可能无法求 出。笔者在解决这类问题时,发现用“零点降 级”的方法能够避开难点、化难为易,从而解 决问题。 “零点降级”是笔者引用的一个名词,所 谓“零点降级”,其含义是:若x0 是函数f(x) 的零点,在f(x0)=0中,若等式中含有对数 (或者指数)形式和代数式形式,可以用代数 式形式表示对数(指数)形式(代数式形式表 示对 数、指 数 形 式,降 级 了),如 函 数 y= lnx-2x3 +1,x0 是 它 的 一 个 零 点,即 lnx0-2x30+1=0,则lnx0=2x30-1,这时遇 到的lnx0就可以用2x30-1替换,使超越式消 失,从而使得问题简化。 若等式中含有参量,可以用已知表示参 量(用已知表示未知,降级了),如y=ex- m(2x2+1),x0 是它的一个零点,凡是由已知表 示未知,由简单的表示复杂的,由初等表示高等 的思想方法就称为“零点降级”。下面笔者从一 个实例说明“零点降级”在函数中的应用。 例1 (2020年阜阳市统考数学22题) 设函数f(x)=x- 1 x ,g(x)=tlnx,其中 x∈(0,1),t为正实数。 (1)若f(x)的图像总在g(x)的图像的 下方,求实数t的取值范围。 (2)设 H(x)=(lnx-x2+1)ex+(x2- 1)x- 1 x( ),证明:对任意的x∈(0,1),都有 H(x)>0。 解析:(1)略。 (2)由(1)可知,当t∈(0,2]时,f(x)< g(x),即x- 1 x<tlnx ,特别的,当t=2时, x- 1 x <tlnx 也成立。所以lnx> x 2- 1 2x (x∈(0,1)),要证H(x)>0,即证(lnx- x2+1)ex+(x2-1)x- 1 x( )>0成立。因为 (lnx-x2+1)ex +(x2-1)x- 1 x( ) > x 2- 1 2x-x 2+1( )ex+(x2-1)x-1x( ),如 果 x 2- 1 2x-x 2+1( )ex+(x2-1)x-1x( )> 0,则不等式得证。而 x2- 1 2x-x 2+1( )ex+ (x2-1)x- 1 x( ) = x2-1 2x [(1-2x)ex + 2(x-1)],因为x∈(0,1)时, x2-1 2x <0 ,如果 (1-2x)ex+2(x-1)<0,不等式得证。 下面研究(1-2x)ex+2(x-1)<0(x∈ (0,1))是 否 成 立。不 妨 设 g(x)=(1- 2x)ex+2(x-1),g'(x)=(-1-2x)ex+2, g″(x)=(-3-2x)ex,因为x∈(0,1),所以 g″(x)=(-3-2x)ex<0,所以 g'(x)= (-1-2x)ex+2在x∈(0,1)内单调递减, 所以g'(1)<g'(x)<g'(0),即-3e+2< g'(x)<1,所 以 存 在 x0 ∈ (0,1),使 得 g'(x0)=0,即(-1-2x0)ex0 +2=0,从而 ex0= 2 1+2x0 。当x∈(0,x0)时,g'(x)>0, g(x)单调递增;当x∈(x0,1)时,g'(x)<0, g(x)单调递减。所以g(x)<g(x0)=(1- 2x0)ex0+2(x0-1)=(1-2x0)· 2 1+2x0 + 2(x0-1)=(1-2x0)· 2 1+2x0 +2(x0- 1)= 2x0(2x0-3) 1+2x0 <0(x0∈(0,1)),所以问 题解决。 作者单位:安徽省太和县第一中学 72 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年7—8月 $$