一道2015年甘肃省第一次高考诊断试题的探究-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

一道2015年甘肃省第一次高考诊断试题的探究 ■吴贤盛 一道好的试题总会留下很大的拓展空 间,让人产生无尽的遐想,细细品来,令人回 味无穷,2015年甘肃省第一次高考诊断试题 文科第12题就是这样的一道好题。 题目 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点A(-a,1),B(a,-1),且a>0,若圆 C 上存在点P,使得∠APB=90°,则a 的最 大值为( )。 A.6 B.35 C.26 D.5 解法1:因为点 A(-a,1),B(a,-1), 且a>0,所以线段AB 的中点为坐标原点O, 因为∠APB=90°,所以OP 为Rt△APB 斜 边AB 上的中线,所以|OP|= 1 2|AB|= 1 2 (2a)2+22= a2+1。因为坐标原点O 到圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上点P 的最 大距离为|OP|max=|OC|+r= 32+42+ 1=6,所以a的最大值为 35。 评注:先由点A 和点B 的坐标得出它们 关于坐标原点对称,确定O 为线段AB 的中 点。再利用直角三角形斜边上中线的性质, 得出|OP|= a2+1。然后由原点O 在圆C 外,得出坐标原点O 到圆C 上点P 的最大距 离等于坐标原点O 到圆心C 的距离再加上 圆C 的半径,从而得出a的最大值。 解法2:因为点 P 在圆C 上,所以设点 P(3+cosθ,4+sinθ),因为∠APB=90°,所 以AP→·BP→=0。因为AP→=(3+cosθ+a, 3+sinθ),BP→=(3+cosθ-a,5+sinθ), AP→·BP→=(3+cosθ+a)(3+cosθ-a)+ (3+sinθ)(5+sinθ)=(3+cosθ)2-a2+ 15+8sinθ+sin2θ=8sinθ+6cosθ+25- a2=0,所 以 a2=8sinθ+6cosθ+25= 10sin(θ+φ)+25,其中cosφ= 4 5 ,sinφ= 3 5 。当sin(θ+φ)=1时,a2 取最大值35,因 为a>0,所以a的最大值为 35。 评注:本解法先利用了圆C 的参数方程 为 x=3+cosθ, y=4+sinθ,{ 设出点 P 的坐标。再利用 两个向量垂直的坐标表示,把a2 表示出来。 最后利用辅助角公式及三角函数的性质,得 出a2 的最大值,从而得出a的最大值。 解法3:设点P(x0,y0),则有(x0-3)2+ (y0-4)2=1,即x20+y20=6x0+8y0-24。 因为∠APB=90°,AP→=(x0+a,y0-1), BP→=(x0-a,y0+1),所 以AP→·BP→= (x0+a)(x0-a)+(y0-1)(y0+1)=x20- a2+y20-1=0,所以a2=x20+y20-1。所以 a2=6x0+8y0-25,所以a2+25=6x0+ 8y0。令z=6x+8y,问题转化为求直线l: 6x+8y-z=0经过圆(x-3)2+(y-4)2=1 上的一点,直线l 在y 轴上截距最大时z 的值。 当直线l与圆(x-3)2+(y-4)2=1相 切时截距最大,所以|6×3+8×4-z| 10 =1 ,所 以z=40(舍去)或z=60,当z=60时,因为 a2+25=60,a>0,所以a= 35。 评注:本解法先设出点 P 的坐标,把点 P 的坐标代入圆的方程。再把∠APB=90° 化归为向量AP→与BP→垂直,运用两向量垂直 的坐标表示。最后化归为目标函数为z= 6x+8y 的线性规划问题求解。 启示:解析几何是高中数学的主干内容, 圆是解析几何中的重要内容之一,这类试题 往往具有很好的研究价值。本例没有停留在 题目的解出,而是从多角度思考问题,运用多 种解法,通过多种解法沟通了圆与向量、三角 函数、线性规划等知识,通过一题多解,拓宽 了同学们的学习视野,提高了同学们的解题 能力,培养了同学们的核心素养。 作者单位:浙江省金华第一中学 82 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年7—8月 $$