一道高考模拟题的多角度探究-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

一道高考模拟题的多角度探究 ■汪亚运 题目:已知函数f(x)=axex(a∈R,a≠ 0),g(x)=x+lnx+1。 (1)讨论f(x)的单调性。 (2)若对任意的x>0,f(x)≥g(x)恒成 立,求实数a的取值范围。 本题是2020年陕西省咸阳市二模理科 数学第21题,作为压轴题,第一问较为简单, 不做赘述。第二问涉及导数、参数、不等式和 恒成立等问题,综合性强、难度大、门槛高,大 部分学生不能得到准确结果。在应用导数研 究函数性质的问题中,含参不等式恒成立是 常见的探究问题。本文将从不同视角给出该 题的两种解法,供读者参考。 解法一:构造函数求最值。由题意知x> 0,f(x)≥g(x),则axex≥x+lnx+1(x> 0)。易知当a<0时不满足题意。当a>0 时,构造函数F(x)=axex-x-lnx-1,问 题转化为F(x)=axex-x-lnx-1≥0在 x>0上恒成立,求实数a的取值范围。 F'(x)=axex+aex-1- 1 x ,F″(x)= axex+2aex+ 1 x2 。当x>0时,F″(x)>0,则 F'(x)在x>0上单调递增。当x→0时, F'(x)<0。当x→+∞时,F'(x)>0。由零 点存在性定理可知,F'(x)=0在 0,+∞( ) 上 有且仅有一个零点x0,使得ax0ex0+aex0-1 - 1 x0 =0,化简可得 (ax0ex0-1)(x0+1) x0 =0。 因为x0>0,所以ax0ex0-1=0,即x0ex0= 1 a 。 当0<x<x0 时,F'(x)<0,则F(x)在(0,x0) 上单调递减;当x>x0 时,F'(x)>0,则F(x) 在(0,x0)上 单 调 递 增。所 以F(x)min= F(x0)=ax0ex0 -x0 -lnx0 -1=1- (lnex0+lnx0)-1=-ln(x0ex0)=-ln 1 a= lna。要使F(x)=axex-x-lnx-1≥0在 x>0上恒成立,即lna≥0,解得a≥1。综上 可知,a≥1。 评注:构造函数求最值这种方法就是 将不等式的恒成立问题转化为求新函数的 最值问题。由于函数中含有参数,在求最 值前往往先要对参数进行分类讨论,然后 再对新函数多次求导,确定单调区间即可 求出最值。 解法二:分离参数求最值。由题意知x> 0,f(x)≥g(x),即axex≥x+lnx+1(x> 0),化简可得a≥ x+lnx+1 xex (x>0)。令 h(x)= x+lnx+1 xex (x>0),则 h'(x)= -(x+1)(x+lnx) x2ex 。令φ(x)=x+lnx,则 φ'(x)=1+ 1 x 。因为x>0时,φ'(x)>0,所 以φ(x)在(0,+∞)上单调递增。又因为 φ 1 e( )= 1 e-1<0 ,φ(1)=1>0,根据零点存 在性定理可知,φ(x)在(0,+∞)上存在唯一 零点x0∈ 1 e ,1( ),使得φ(x0)=x0+lnx0= 0,即x0=-lnx0。当x∈ 0,x0( ) 时,φ(x)< 0,h'(x)>0,则h(x)在 0,x0( ) 上单调递增; 当x∈ x0,+∞( ) 时,φ(x)>0,h'(x)<0,则 h(x)在 x0,+∞( ) 上 单 调 递 减。 则 hx( ) max=h(x0)= x0+lnx0+1 x0ex0 =1,又a≥ h(x),所以a≥1,对任意的x>0,f(x)≥ g(x)恒成立。综上可知,a≥1。 评注:将所给的不等式通过恒等变形使 参数与主元分离于不等式的两端,从而使问 题转化为求主元函数的最值,进而求出参数 的范围,这种方法本质上也是求最值,但它的 思路更清晰。 总之,研究多种视角下的解法,同学们才 有可能站在更高的高度比较解法之间的差 异,关注解法之间的联系,提炼出更好的解题 思想来统领所有的解法,做到“多解归一”,从 而理解知识的原理,掌握问题的本质。 作者单位:广东省深圳市坪山高级中学 92 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年7—8月 $$