类比推理在高中数学解题中的运用研究-2020年7-8月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

类比推理在高中数学解题中的运用研究 ■付志兴 对于高中生来说,解题是学习数学知识 的主要途径。很多同学在解题时因为没有恰 当的方法,会消耗大量的时间来理解解题思 路,最后不仅没有解答问题,还浪费了很多学 习时间。可见,同学们若想提高解题水平和 解题质量,就需要使用一定的解答方法,而类 比推理方法就是一种很好的方法,不但能够 提高解题的准确性,也能为后期的数学学习 提供重要的保障。基于此,下面就对高中数 学解题中类比推理方法的应用做出具体探 讨,以帮助大家提高数学问题的解答能力。 一、类比推理在数列解题中的应用 同学们在使用类比推理方法对高中数学 习题进行解答时,需要对各个知识点之间的 关系相互联系,增加对类比推理的理解,在自 身能够主动探索的情况下,形成一定的数学 思维和推理能力,这样不仅能自主分析和思 考问题,还能进行知识的验收,从而获得更为 有效的结论。 例1 已知{an}是等差数列,a1+a3+ a5=9,a6=9,求其前6项之和。 分析:因为a1+a3+a5=9,3a3=9,a3= 3,所以3d=6,d=2,a1=-1。故S6=3× (-1+9)=24。 例2 设等差数列的前n 项和为Sn,如 果S3=9,S6=36,则a7+a8+a9 等于多少? 分析:首先,要对各个下标之间的关系详 细分析,明确等差数列的性质;然后按照类比 推理的方式解决问题。 二、类比推理在几何解题中的应用 将类比推理方法应用到几何习题的解答 中,能加强对相关知识概念和公式的理解,帮 助大家找到适合的学习方法,也能促使同学 们创新意识和思维的形成,并在习题解决中 形成严谨的数学思维。这样,不仅能加强同 学们对数学问题的解决,改善同学们的学习 方式,也能为同学们后期的习题解决提供强 大的保障。 例3 已知某圆经过O(-2,4),A(3,-1) 两点,在x轴上截得的弦长为6,求圆的方程。 分析:因为该圆经过两点,可以代入方 程。线段OA 的垂直平分线为y=x+1,圆 心C 的坐标为(a,a+1),半径r= PC = (a+2)2+(a-3)2= 2a2-2a+13,圆心 C 到x 轴的距离为d= a+1 。基于题意得 出32+d2=r2,即32+(a+1)2=2a2-2a+ 13,整理后得出a2-4a+3=0,解得a=1或 a=3。 所以,当a=1时,圆的方程为(x-3)2+ (y-2)2=13;当a=3时,圆的方程为(x- 3)2+(y-4)2=25。 三、类比推理在数学概念理解中的应用 同学们在学习高中数学知识时,要了解 数学知识点中的一些概念和公式,要强化记 忆,还要加强对各个章节内知识的记忆,这样 能帮助同学们顺利解决一些数学问题。 例如,同学们在对三角形的正弦和余弦 知识点进行学习时,首先,要对三角形中的各 个内角的关系进行回顾,了解每个角的邻边 和对边的关系;然后,结合掌握的概念和对正 弦的理解,发现该角的正弦就是其对边和斜 边的比值。我们也可以结合正弦和余弦的有 关知识,加强对正切值知识的学习,在这种情 况下,不仅会增加对知识点的记忆,也能为后 期的知识学习提供有效保障。 小结:在高中数学习题的解决过程中,使 用类比推理方法,能帮助同学们快速解决问 题,获得有效的解题方法,积累更多的解题经 验,在提升解题能力和水平的情况下,增加数 学习题的解决效率。所以同学们在解答数学 问题时,要多利用类比推理进行推理,并能自 主分析,帮助自己构建更为清晰、更为完善的 数学知识结构,这样不仅能直观地分析知识, 得到问题的准确答案,也能为日后的学习提供 重要保障,促使自身学习成绩的提升。 作者单位:山东省青岛市即墨区市北中学 24 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年7—8月 $$