（精校版）2020年天津卷数学高考试题文档版（含答案）

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件 与事件 互斥，那么 ． ·如果事件 与事件 相互独立，那么 ． ·球的表面积公式 ，其中 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集 ，集合 ，则 A． B． C． D． 2．设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数 的图象大致为 A B C D 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 内的个数为 A．10 B．18 C．20 D．36 5．若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 6．设 ，则 的大小关系为 A． B． C． D． 7．设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为 A． B． C． D． 8．已知函数 ．给出下列结论： ① 的最小正周期为 ； ② 是 的最大值； ③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象． 其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 9．已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10． 是虚数单位，复数 _________． 11．在 的展开式中， 的系数是_________． 12．已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_________． 13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 15．如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分） 在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分） 已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程． 19．（本小题满分15分） 已知 为等差数列， 为等比数列， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 20．（本小题满分16分） 已知函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间和极值； （Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ． 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学参考解答 一．选择题：每小题