专题01 同构函数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题01 同构函数型 [高考真题] 1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性. 【解析】由移项变形为 设 易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以 从而，故选A． 2.（2020·新课标Ⅰ理数·12）若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】∵ ∴ 设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【解析】∵ ∴，故 设，则为增函数， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选B. 【点评】本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值. [强化训练] 1.（2012·全国联赛）如果，，则的取值范围是______________. 【答案】 2.（2012·辽宁竞赛）不等式的解集是______________. 【解析】原不等式可化为： 构造函数，则，在上单增 所以，解之得 所以原不等式解集是. 3.（2020·南通五月模拟·14）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题的实质是含参数（这里当然是sin、cos）的不等式恒成立问题，应抓住已知条件的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式. 【解析】看到想“对称结构”，将它变形为： ， 设， 易知当时，，故在单减， 所以，解之得： 所以的取值范围． 4.（2019·南师附中期中·14）已知函数，，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】这里 可以发现,将移项变形为，易知是奇函数，，故进一步变形为，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令，问题转化为，只需研究的单调性，逆用该函数的单调性即可. 【解析】∵ ∴可变形为： ∵是奇函数 ∴ ∴ 令，则 ∴单增 ∴，即，解之得 所以t的取值范围是． 5.（2020·南通如皋创新班四月模拟·2）已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______． 【答案】2 【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值. 【解析】由，化简为：，即， 设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)， 且，所以，即. 6.（2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·14）)已知实数，满足，，则______. 【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解. 解法一：实数，满足，， ，，则， ， 所以在单调递增，而， . 解析二：对两边取自然对数得：， 对两边取自然对数得： （※） 为使两式结构相同，将（※）进一步变形为： 设，则 所以在单调递增，的解只有一个. ∴， ∴ 【点评】两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解. 7.设方程的根为，设方程的根为，则= . 【答案】4 8.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是 . 【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2， 设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2. 因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2. 点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0. 9.(宿迁·2018·期中)不等式的解集是 . 【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：，构造函数，题目转化为求解的问题. 因为，易知恒成立，故为上的单调增函数，所以由立得：，解之得. 【方法点拨】 1. 一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例1); 2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题，或运用同一方程代入. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 $$