专题2.2 函数的单调性与最值-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题2.2 函数的单调性与最值 目录 一、题型全归纳 1 题型一 　确定函数的单调性(区间) 1 题型二 求函数的最值(值域) 3 题型三 函数单调性的应用 5 命题角度一　比较大小 5 命题角度二　解函数不等式 6 命题角度三　根据函数的单调性求参数 6 二、高效训练突破 7 一、题型全归纳 题型一 　确定函数的单调性(区间) 【题型要点】 1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法 (1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．. (3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性． 2．熟记函数单调性的常用结论 (1)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．　　　　　　　　 【例1】(2020·华南师范大学附属中学月考)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 【例2】函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 【例3】判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 题型二 求函数的最值(值域) 【题型要点】求函数的最值(值域)的常用方法 (1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值． (2)换元法：求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解． (3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值 (4)有界性法：利用代数式的有界性(如x2≥0，≥0，2x>0，－1≤sinx≤1等)确定函数的值域． (5)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．　　　　　　　　　　　　　　 【例1】函数f(x)＝的值域为________． 【例2】对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 题型三 函数单调性的应用 命题角度一　比较大小 【题型要点】比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 【例1】(2019·郑州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，若a＝f(－1)，b＝，c＝f(20.3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c 命题角度二　解函数不等式 【题型要点】在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 【例2】已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　 B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1，2) D．(－2，1) 命题角度三　根据函数的单调性求参数 【题型要点】视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． 【例3】(2020·南京调研)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 二、高效训练突破 一、选择题 1.(2020·河南鹤壁高中月考)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 6．(2019·兰州模拟)函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 3.已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2