专题2.3 函数的奇偶性及周期性-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题2.3 函数的奇偶性及周期性 目录 一、题型全归纳 1 题型一 　判断函数的奇偶性 1 题型二 奇函数、偶函数性质的应用 3 题型三 函数的周期性及应用 4 题型四　函数性质的综合应用 6 命题角度一　单调性与奇偶性结合 6 命题角度二　周期性与奇偶性结合 6 命题角度三 单调性、奇偶性和周期性结合 7 题型五 奇偶函数的二级结论及应用 8 二、高效训练突破 9 一、题型全归纳 题型一 　判断函数的奇偶性 【题型要点】 1．判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【例1】(2020·成都市高三阶段考试)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【例2】判断函数f(x)＝的奇偶性。 题型二 奇函数、偶函数性质的应用 【题型要点】函数奇偶性的应用 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值 (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 【注意】：对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.　　　　　　　　　　　 【例1】若f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 【例2】(2020·衡水模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f(x)＝xln x，则x＜0时，f(x)＝(　　) A．xln x B．xln (－x) C．－xln x D．－xln (－x) 题型三 函数的周期性及应用 【题型要点】1．求函数周期的方法 方法 解读 适合题型 定义 法 具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期 非零常数T容易确定的函数， 递推 法 采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期 含有f(x＋a)与f(x)的关系式， 换元 法 通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期 f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式 2．函数周期性的应用 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(2020·江西临川第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则＝(　　) A．－　　　　　　 B．－ C. D． 【例2】(2020·开封模拟)已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 016(2)的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 题型四　函数性质的综合应用 命题角度一　单调性与奇偶性结合 【题型要点】函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 【例1】．(2019·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)＞f(1－a)，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 命题角度二　周期性与奇偶性结合 【题型要点】周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 【例2】已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝