专题2.4 二次函数与幂函数-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题2.4 二次函数与幂函数 目录 一、题型全归纳 1 题型一 　求二次函数的解析式 1 题型二 二次函数的图象与性质 3 命题角度1　二次函数的图象 3 命题角度2 二次函数的单调性 5 命题角度3　二次函数的最值 6 命题角度4　与二次函数有关的恒成立问题 7 题型三 分类讨论思想在二次函数问题中的应用 8 题型四　幂函数的图象与性质 9 二、高效训练突破 11 一、题型全归纳 题型一 　求二次函数的解析式 【题型要点】用待定系数法求二次函数的解析式 (1)关键：恰当选取二次函数解析式的形式 (2)选法 已知条件 解析式的形式 三点坐标 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点坐标 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 对称轴 最大(小)值 与x轴两交点的坐标 两根式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 题型二 二次函数的图象与性质 命题角度1　二次函数的图象 【题型要点】识别二次函数图象应学会“三看” 　　　 【例1】已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 【例2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论： ①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b. 其中正确的结论是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 命题角度2 二次函数的单调性 【题型要点】 研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)． 【例3】(2020·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【例4】函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a的取值范围是________． 命题角度3　二次函数的最值 【题型要点】二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 【例5】已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　　) A. B．1或 C．－1或 D．－5或 【例6】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 命题角度4　与二次函数有关的恒成立问题 【题型要点】与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4. (3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在(m，n)上恒成立⇔如举例说明5. (5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立⇔　 　 【例7】已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________． 【例8】已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－) B．(－，0) C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 题型三 分类讨论思想在二次函数问题中的应用 【题型要点】二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x＝－为其最值点的横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况的最值，建立方程求解参数．　　　　　　 【例1】已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值． 【例2】(2020·开封模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为_______． 题型四　幂函数的图象与性质 【题型要点】1．求幂函数的解析式 幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一