专题2.5 指数与指数函数-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题2.5 指数与指数函数 目录 一、题型全归纳 1 题型一 指数幂的化简与求值 1 题型二 指数函数的图象及应用 2 题型三 指数函数的性质及应用 4 命题角度一　比较指数幂的大小 4 命题角度二　解指数不等式 5 命题角度三　指数型复合函数的单调性 6 二、高效训练突破 7 一、题型全归纳 题型一 指数幂的化简与求值 【题型要点】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　 【例1】化简：(a2·)÷(·)＝________(用分数指数幂表示)． 【例2】＋0.002－－10×(－2)－1－＋[(－2)3]－的值为________． 【例3】．若x＋x－＝3，则的值为________． 题型二 指数函数的图象及应用 【题型要点】1．准确把握指数函数图象的特征 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. (2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系 如图所示 其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．如举例说明3. 2．关注含参指数型函数图象恒过定点问题 (1)依据：恒等式a0＝1(a≠0)． (2)方法：求形如f(x)＝M·akx＋b＋N的图象恒过的定点，首先由kx＋b＝0求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标． 3．有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.　 　　　　　　　　　　　　 【例1】(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1,6) B．(1,5) C．(0,5) D．(5,0) 【例2】函数f(x)＝2|x－1|的大致图象为(　　) 【例3】若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________． 题型三 指数函数的性质及应用 命题角度一　比较指数幂的大小 【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 【例1】(2020·许昌四校联考)设a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是(　　) A．aa＜ab B．ba＜bb C．aa＜ba D．bb＜ab 【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 命题角度二　解指数不等式 【题型要点】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 【例3】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 命题角度三　指数型复合函数的单调性 【题型要点】1.两类复合函数的最值(或值域)问题 (1)形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围． (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝at，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝at的最值． 2．对于形如y＝af(x)的函数的单调性 (1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间； (2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 【