专题2.3 函数的奇偶性及周期性-2021年高考数学（文）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题2.3 函数的奇偶性及周期性 目录 一、题型全归纳 1 题型一 函数奇偶性的判断 1 题型二 函数奇偶性的应用 2 题型三 函数的周期性 3 题型四 函数性质的综合应用 4 二、高效训练突破 5 一、题型全归纳 题型一 函数奇偶性的判断 【题型要点】判断函数奇偶性的方法 (1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断． (2)利用函数图象特征判断． (3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 【例1】判断函数f(x)＝的奇偶性。 【例2】已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数 B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数 C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数 D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数 题型二 函数奇偶性的应用 【题型要点】与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解． (4)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性． 【例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1　　　　　　　 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 【例2】已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为 ． 题型三 函数的周期性 【题型要点】函数周期性的判断与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数的周期． 【例1】(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【例2】已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 题型四 函数性质的综合应用 【题型要点】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 【例1】已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 【例2】(2020池州联考)已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件： ①∀x1，x2∈[4,8]，当x1<x2时，都有>0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数． 若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 025)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a 二、高效训练突破 一、选择题 1.(2020·洛阳一中月考）下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　) A．y＝－　　　　　　　 B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1 2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(