专题2.6 指数与指数函数-2021年高考数学（文）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题2.6 指数与指数函数 目录 一、题型全归纳 1 题型一 指数幂的化简与求值 1 题型二 指数函数的图象及应用 2 题型三 指数函数的性质及应用 3 命题角度一　比较指数幂的大小 3 命题角度二　解简单的指数方程或不等式 4 命题角度三　研究指数型函数的性质 5 题型四　换元法求解指数型函数的有关问题 6 二、高效训练突破 7 一、题型全归纳 题型一 指数幂的化简与求值 【题型要点】 【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 【例1】计算：(1)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0； (2)(a>0，b>0)． 题型二 指数函数的图象及应用 【题型要点】1.指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. (2)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除． (3)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象，特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (4)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． 【例1】(2020·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是(　　) 【例2】．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 题型三 指数函数的性质及应用 命题角度一　比较指数幂的大小 【题型要点】比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底． 二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系． 三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小． 【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是(　　) A．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 【例2】已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 命题角度二　解简单的指数方程或不等式 【题型要点】解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 【例3】不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 命题角度三　研究指数型函数的性质 【题型要点】求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域． (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论： 当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同； 当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反． 【例4】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是 ． 题型四　换元法求解指数型函数的有关问题 【题型要点】对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法 【例1】已知函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，求m的取值范围． 【例2】已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)． (1)求a的值； (2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值． 二、高效训练突破 一、选择题 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4　　　　　 B．2a