第六章 实数-2020七年级数学【假期作业】期末暑假系统总复习（人教版）

$$ 第六章　实　数 一、平方根 １．算术平方根的概念及性质 一般地,如果一个正数x的平方等于a,那么这个正 数x叫做a 的　　　　(x＝　　　　,a＞０);０的 算术平方根是　　　　． ２．平方根的概念及性质 一般地,如果一个数x的平方等于a,那么这个数x 叫做a 的平方根或　　　　(x＝　　　　,a≥０)． ３．立方根的性质 ①正数的立方根是　　　　　　,负数的立方根是 　　　　　　,０的立方根是　　　　;②任何数都 有立方根且只有一个;③ ３ －a＝　　　　． 二、实数 １．无理数 　　　　　　　叫做无理数,常见形式有:①开方 开不尽的数;②关于π的一类数;③以无限不循环 小数形式出现的特定结构的数． ２．实数的概念及分类 按照性质分:实数分为:　　　　、０、负实数;按照 定义分:有理数、　　　　． ３．实数的性质 求实数的相反数、绝对值的方法与求有理数的相反 数、绝对值的方法是一致的;有理数的倒数、平方 根、立方根的概念和性质对于实数也同样适用． ４．实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是　　　　． ５．实数的运算 实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算, 有理数的运算法则及运算性质等同样适用． １．一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值,即 a２＝|a|; ２．一个非负数的算术平方根的平方等于它本身,即 (a)２＝a(a≥０); ３．被开方数的小数点向右(或向左)移动２m(m 为整 数)位,它的算术平方根的小数点就向右(或向左) 移动m 位; ４．被开方数扩大(或缩小)为原来的m２(m 为正数)倍, 它的算术平方根就扩大(或缩小)为原来的m 倍; ５．只要出现形如 a的式子,必定隐含着条件a≥０,在 具体问题中要灵活运用; ６．形如 a(a≥０)的式子常与形如|a|,a２ 的式子一起 出现,这三种式子是初中数学中常见的三种非负数 的表现形式; ７．一个非负数的平方根是a和b,则a＋b＝０; ８．算术平方根与立方根相等的数只有０和１,算术平 方根与立方根互为相反数的数只有０; ９．若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为 相反数． 一、运用算术平方根的非负性求字母的值 例１　已知a,b满足 ３a－９＋ b－ ２＝０,解关于x 的方程(a＋２)x＋b２＝１－a． 【答案】解:∵ ３a－９＋ b－ ２＝０, ∴３a－９＝０,b－ ２＝０, 解得a＝３,b＝ ２, 则方程变形为(３＋２)x＋２＝１－３, 解得x＝－０．８． 二、规律探究题 例２　求一个正数的算术平方根,有些数可以直接求 得,如 ４,有些数则不能直接求得,如 ５,但可以通 过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内 在联系,运用规律求得,请同学们观察下表: n １６ ０．１６ ０．００１６ １６００ １６００００ 􀆺 n ４ ０．４ ０．０４ ４０ ４００ 􀆺 (１)表中所给的信息中,你能发现什么规律? (请将 规律用文字表达出来) (２)运用你发现的规律,探究下列问题: 已知 ２．０６≈１．４３５,求下列各数的算术平方根: ①０．０２０６;②２０６００００． 【答案】解:(１)被开方数的小数点向左或向右移动 ２n 位,算 术 平 方 根 的 小 数 点 就 向 左 或 向 右 移 动 n位． (２)① ０．０２０６≈０．１４３５． ② ２０６００００≈１４３５． 三、实数的性质及应用 例３　已知一个正数的两个平方根分别为a和３a－８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７ (１)求a的值,并求这个正数; (２)求１－７a２ 的立方根． 【答案】解:(１)根据题意,得a＋３a－８＝０, 解得a＝２, 所以这个正数为２２＝４． (２)当a＝２时,１－７a２＝－２７, 则１－７a２ 的立方根为－３． 四、无理数大小的估算 例４　阅读下面的文字,解答问题: 大家知道 ２是无理数,而无理数是无限不循环小 数,因此 ２的小数部分我们不可能全部地写出来, 于是小明用 ２－１来表示 ２的小数部分,你同意小 明的表示方法吗? 事实上,小明的表示方法是有道理,因为 ２的整数 部分是１,将这个数减去其整数部分,差就是小数 部分． 又例如: ∵ ４＜ ７＜ ９,即２＜ ７＜３,