衔接点04 高次方程，根式方程和分式方程的解-2020年【衔接教材•暑假作业】初高中衔接数学（新人教版）

衔接点04 高次方程，根式方程和分式方程的解 【基础内容与方法】 高次方程主要指未知数指数大于等于2的方程，其解法主要是换元法和因式分解法，同时这里也会巩固韦达定理，进一步理解根与系数之间的关系． 类型一：解根式方程 例1：求方程的解集．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 考点练习一 1.解方程． 类型二：解高次方程 例2：． 考点练习二 2．求下列方程的解集 （1）； （2）； （3）． 类型三：解分式方程 例3：． 考点练习三 3．求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）． 类型四：韦达定理的应用[来源:Zxxk.Com] 例4：已知方程的两根为与，求下列各式的值： （1）；（2）． [来源:学科网ZXXK] 考点练习三 4．已知关于x的方程． （1）求证：对于任意实数m方程总有实数根； （2）若是原方程的两根，且，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 $$ 衔接点04 高次方程，根式方程和分式方程的解 【基础内容与方法】 高次方程主要指未知数指数大于等于2的方程，其解法主要是换元法和因式分解法，同时这里也会巩固韦达定理，进一步理解根与系数之间的关系． 类型一：解根式方程 例1：求方程的解集． 【答案】 【解析】设，则， 故原方程可变为， 因此可知或（舍）． 从而，即，[来源:Z|xx|k.Com] 所以原方程的解集为． 【点睛】本题考查通过开根号法求解一元二次方程，一般遵循配方，开根号的步骤，属基础题. 考点练习一 1.解方程． 【答案】 【解析】令方程化为， 解得或（舍）． 由得，即， 解得或， 经检验，是原方程的解． 所以原方程的解集为． 【点睛】本题考查利用换元法求解带根式的方程，属中档题. 类型二：解高次方程 例2：． 【答案】（； 【解析】令，原方程化为， 解得或． 当时，， 即，，此方程无解． 当时，，即，解得或． 所以原方程的解集为． 【点睛】本题考查利用换元法求解高次方程，属中档题. 考点练习二 2．求下列方程的解集 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设，原方程化为， 解得． 当时，，∴；[来源: 当时，，∴． ∴原方程的解集为． （2）设，原方程化为， 解得． 当时，有， 此时，，方程的解集为； 当时，有， 解得． ∴方程的解集为． （3）原方程化为， 设，则有， 解得． 当时，有， 即，此时，方程的解集为． 当时，有，即，[来源:学科网ZXXK] 解得． ∴原方程的解集为． 【点睛】本题考查利用换元法求高次方程，注意恰当的换元可简化计算，属中档题. 类型三：解分式方程 例3：． 【答案】； 【解析】令，原方程化为， 即，解得或． 当时，即，，此方程无解． 当时，即，解得或， 经检验，是原方程的解． 所以原方程的解集为． 【点睛】本题考查利用换元法求解高次方程，分式方程，带根式的方程，属中档题. 考点练习三 3．求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）（2）；（3）． 【解析】（1）令，则原方程化为， 即，解得或． 当，即时，解得； 当，即时，解得． 所以原方程的解集为． （2）令，则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，原方程的解集为． （3）令，原方程可化为， 即，解得． 经检验，方程的解集为． 所以或， 即或， 解得，，，， 经检验，原方程的解集为． 【点睛】本题考查换元法求解分式方程，注意对根的检验. 类型四：韦达定理的应用 例4：已知方程的两根为与，求下列各式的值： （1）；（2）．[来源:Z,xx,k.Com] 【答案】（1）；（2） 【解析】由方程得． （1）； （2）． 【点睛】本题考查由韦达定理，求解的代数式的值，属基础题. 考点练习三 4．已知关于x的方程． （1）求证：对于任意实数m方程总有实数根； （2）若是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）证明见详解；（2）或 【解析】（1）证明：当时，方程化为，即，方程有一个实根； 当时，，方程有两个实根． 综上，对于任意实数m方程总有实数根． （2）∵是方程的两根， ∴． 又∵， ∴， ∴， 整理，得，解得或． 【点睛】本题考查二次方程根的情况与参数之间的关系，以及韦达定理的应用，属基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$