衔接点07 从换元法，整体思想到函数的解析式-2020年【衔接教材•暑假作业】初高中衔接数学（新人教版）

衔接点07 从换元法，整体思想到函数的解析式 zxxk.com 【基础内容与方法】 题目常见形式“已知的解析式，求的解析式．” 1.“整体代入法”是把视为一个整体，将的解析式转化为含的表达式，然后直接整体代换，即可求出解析式，此种方法不必求出，可以减少运算量． 2.“换元法”是通过引入参数进行式子的变形，从而得到的表达式，这是解此类型题的通法． 类型一：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式 例1：已知f(x)＝2x2＋1，求f(＋1)的解析式． 类型二：已知f[g(x)] 的解析式，求f(x)的解析式 方法：通过引入参数t，进行换元，分离相应的变量x,从而得到f(x)的解析式． 例2：已知函数f()＝＋，求f(x) ．[来源:Z&xx&k.Com] 考点练习 1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于(　　) A．2x＋1　　　 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 3．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________. 4．已知函数f(x)＝． (1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值； (2)求证：f(x)＋f()是定值； (3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 012)＋f()的值． [来 5．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)． 6．（1）已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)； （2）已知f(x)－2f()＝3x＋2，求f(x)． [ 7．(1)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 8．对的所有实数，函数满足，求的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 衔接点07 从换元法，整体思想到函数的解析式 zxxk.com 【基础内容与方法】 题目常见形式“已知的解析式，求的解析式．” 1.“整体代入法”是把视为一个整体，将的解析式转化为含的表达式，然后直接整体代换，即可求出解析式，此种方法不必求出，可以减少运算量． 2.“换元法”是通过引入参数进行式子的变形，从而得到的表达式，这是解此类型题的通法． 类型一：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式 例1：已知f(x)＝2x2＋1，求f(＋1)的解析式． 方法：解决此类问题的方法为“直接代入法”，直接代入法主要解决已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式的问题，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x. 解析：因为f(x)＝2x2＋1， 所以f(＋1)＝2(＋1)2＋1＝2x＋4＋3. 类型二：已知f[g(x)] 的解析式，求f(x)的解析式 方法：通过引入参数t，进行换元，分离相应的变量x,从而得到f(x)的解析式． 例2：已知函数f()＝＋，求f(x) ． 解析：令t＝＝＋1，得x＝， 则t≠1.把x＝代入f()＝＋，得 f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. ∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 考点练习 1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于(　　) A．2x＋1　　　 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 解析：选B，∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B． 2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________. 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则3f(x＋1)＝3[k(x＋1)＋b]＝3kx＋3k＋3b＝6x＋4，所以解得所以f(x)＝2x－．答案：2x－．[来源:学,科,网Z,X,X,K] 3．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________. 解析：f[f(x)]＝＝＝.答案：(x≠0，且x≠1) ． 4．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值； (2)求证：f(x)＋f()是定值；[来源:Zxxk.Com] (3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 012)＋f()的值． 解析：(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f()＝＋＝1， f(3)＋f()＝＋＝1. (2)证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1. (3)由(2)知f(x)＋f()＝1， ∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2 012)＋f()＝1. ∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 012)＋f()＝2 011.　 法