衔接点08 从换元法，数形结合思想到函数的值域-2020年【衔接教材•暑假作业】初高中衔接数学（新人教版）

衔接点08 从换元法，数形结合思想到函数的值域 zxxk.com 【基础内容与方法】 1.换元法：就是将函数解析式中的部分代数式视为整体，换成新元，从而简化函数结构来求值域的方法．形如的函数，常用换元法求解． 2.数形结合思想：画出函数的图形，找图形的最高点和最低点，对应的函数值即为函数的最值． 类型一：换元法求形如的函数的值域 例1：求函数的值域． 考点练习一 1.求函数y＝2x－的值域．[来源:Z#xx#k.Com] 类型二：数形结合思想求值域 例2：作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域． （1）；（2）． 考点练习二 2．作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域． （1）；（2）；（3）；（4）． [来源:学_科_网] 课后作业： 1. 函数的值域是（ ） A． B． C． D．R 2.函数y=x+的值域是( )[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学科网] A．(－∞,1 B．(－∞,－1　　　C．R D．［1,+∞ 3．已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝______. 4．求函数的定义域与值域. [来源:学。科。网Z。X。X。K] 5.已知的定义域与值域. 6.求下列函数的值域. (1) (2) y＝，x∈[3，5] . ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 衔接点08 从换元法，数形结合思想到函数的值域 zxxk.com 【基础内容与方法】 1.换元法：就是将函数解析式中的部分代数式视为整体，换成新元，从而简化函数结构来求值域的方法．形如的函数，常用换元法求解． 2.数形结合思想：画出函数的图形，找图形的最高点和最低点，对应的函数值即为函数的最值． 类型一：换元法求形如的函数的值域 例1：求函数的值域． 【解析】令，则． ∴原函数可化为． ∵当，即时，；且原函数无最小值． 故原函数的值域为． 考点练习一 1.求函数y＝2x－的值域． 【解析】(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[，＋∞)． 类型二：数形结合思想求值域 例2：作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域． （1）；（2）． 【答案】（1）减区间：和，值域：； （2）减区间：和，增区间：和，值域：． 【解析】分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间和值域． （1），图象如图所示：[来源:学科网] 函数在和为减函数. 因为，所以，故值域为：； （2），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数， 当时，取得最小值，故值域：； 【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题. 考点练习二 2．作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域． （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）增区间：，值域：R；（2）增区间：和，减区间：，值域：；（3）减区间：和，增区间：和，值域：；（4）减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析 【解析】（1）函数的图象如图所示： 函数在上为增函数，值域：. （2），图象如图所示： 函数在和为增函数，在为减函数， 值域为：. （3），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数. 值域为：； （4）[来源:Z#xx#k.Com] ， 函数在和为减函数，在和为增函数， 值域为：. 【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题. 课后作业： 1. 函数的值域是（ ） A． B． C． D．R 【解析】，值域为【答案】 B 2.函数y=x+的值域是( )[来源:学+科+网Z+X+X+K] A．(－∞,1 B．(－∞,－1　　　C．R D．［1,+∞ 【解析】令=t(t≥0),则x= ∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1 ∴值域为(－∞,1【答案】 A 3．已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝______. 【解析】∵f(x－)＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11. 4．求函数的定义域与值域. 【解析】要使函数有意义，则，解得. 所以原函数的定义域是. ，所以值域为. 5.已知的定义域与值域. 【解析】要使函数有意义，则x+2≠0，解得x≠－2. 所以原函数的定义域是. ∵ ，∴值域为. 6.求下列函数的值域. (1) (2) y＝，x∈[3，5] . 【解析】(1)(换元法)设＝t，t≥0，则y＝(t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为. (2) (分离常数法)由y＝＝2－，结合图象知，函数