专题三 微考点20 函数模型及其应用-【高考领航】2021高考文科数学一轮复习微专题速练

微考点20　函数模型及其应用 考查要点 (1)常见函数模型的特征及性质；(2)函数建模的过程与方法． 命题角度 (1)分段函数模型；(2)一次、二次函数模型；(3)指数函数模型；(4)对数函数模型. A级　基础强化练 1．某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝a log2(x＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到(　　) A．300只　　　　　　　　 B．400只 C．500只 D．600只[来源:学科网ZXXK] 2．有一组试验数据如表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　) A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1 C．y＝2 log2x D．y＝x3 3．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点 4．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，则最小的正整数a的值为(　　) A．310 B．315 C．320 D．325 5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝________毫克/升． 6．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．[来源:学科网ZXXK] B级　能力提升练[来源:学科网ZXXK] 7．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 8．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象． 微考点20　函数模型及其应用 1．A　由题意，得100＝a log2(1＋1)，解得a＝100， 所以y＝100 log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100 log2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只． 2．B　由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1＞4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3＞8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B. 3．D　由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快． 4．B　对于函数模型f(x)＝＝15－，a为正整数，函数在[50，500]上单调递增，f(x)min＝f(50)≥7，得a≤344，要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立，所以a≥－0.15×502＋13.8×50＝315.综上，最小的正整数a的值为315. 5．解析：因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150 ln 2(毫克/升) 答案：150ln 2 6．解析：设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70