专题03 16.3 二次根式的运算-2020-2021学年初中数学截拳道（沪教版）

专题03 16.3 二次根式的运算 知识概要 1.二次根式的加法和减法 整式的加减归结为合并同类项.二次根式的加减也归结为合并同类二次根式. 问题1 怎样计算 分析 观察算式中的四个二次根式，它们不都是最简二次根式.它们之中有没有同类二次根式，要化成最简二次根式后才能判断. 由 ， ， ，可知这三个二次根式是同类二次根式，可以将它们合并. 原式 . 由此可见，二次根式相加减的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并. 2.二次根式的乘法与除法 问题2 将一个正方形分割成面积分别为 (平方单位)和 (平方单位)的 两个小正方形和两个长方形，求每个长方形的面积. 分析 图中每个长方形的相邻两边的长分别是面积为 和 的两个小正方形 的边长，即 和 ，其中 .由此可知每个长方形的面积是 . 由二次根式的性质3，可得 . 求得每个长方形面积为 (平方单位). 二次根式的性质3也就是二次根式相乘的法则，即 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变. 两个二次根式相除，怎么进行运算？ 同样地，二次根式的性质4就是二次根式相除的法则，即 两个二次根式相处，被开方数相除，根指数不变. 注意：① ， ，_______________________. ②二次根式相乘除的结果必须化为最简二次根式. 思考 把代数式 和 中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式.这两个分母之间有什么关系?怎样把分母中的 化为 ? 把 的分数线上、下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则，可得 . 把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 3.混合运算 实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用. 问题3 利用平方差公式，得 . 观察上面这个等式，左边是两个含有二次根式的代数式相乘，右边不含二次根式. 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.如 与 互为有理化因式， 与 也互为有理化因式. 经典题型精析 (一)二次根式的加减 例1.计算