利用向量解决立体几何探究性问题的解题方法导引

利用向量解决立体几何探究性问题的解题方法导引 方法导引 1．立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 (2)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. (3)用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (4)点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 题型一：存在性问题 例1 （2019·北京高考真题（理））如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 【解析】 (Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD， 由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A， 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD. (Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：， 由可得点F的坐标为，由可得， 设平面AEF的法向量为：，则 ， 据此可得平面AEF的一个法向量为：， 很明显平面AEP的一个法向量为，， 二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为. (Ⅲ)易知，由可得， 则，注意到平面AEF的一个法向量为：， 其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内. 例2．（2016·北京高考真题（理））如图,在四棱锥中, 平面平面,. （1）求证:平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】 （Ⅰ）因为平面平面，， 所以平面.所以.又因为，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结.因为，所以. 又因为平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以.因为，所以. 如图建立空间直角坐标系.由题意得，. 设平面的法向量为，则 即令，则. 所以.又，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得. 因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得. 所以在棱上存在点使得平面，此时. 题型二：最值问题 【例3】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________． 【解析】建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝1，则＝， E，设M(0，y，1)(0≤y≤1)， 则＝，∴cos θ＝＝－. 设异面直线所成的角为α，则cos α＝|cos θ|＝ ＝·，令t＝1－y，则y＝1－t， ∵0≤y≤1，∴0≤t≤1，那么cos α＝|cos θ|＝· ＝＝， 令x＝，∵0≤t≤1，∴x≥1，那么cos α＝， 又∵z＝9x2－8x＋4在[1，＋∞)上单增，∴x＝1，zmin＝5， 此时cos α的最大值＝·＝·＝.答案　 【例4】如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA