基本（均值）不等式与其他知识领域融合的综合应用导引

高一强基计划讲义：基本（均值）不等式与其他知识领域融合的综合应用导引 方法导引 基本（均值）不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一。本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用。 一、不等式与三角函数 1．已知，为锐角，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【详解】 解：∵， ∴， ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 二、不等式与数列 2.阅读： 已知、，，求的最小值. 解法如下：， 当且仅当，即时取到等号， 则的最小值为. 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知，，求的最小值； （2）已知，求函数的最小值； （3）已知正数、、，， 求证：. 【详解】 解（1）∵a+b+c＝1， ∴y（a+b+c）329， 当且仅当a＝b＝c时取等号．即的最小值为9． （2）10+2， 而，∴8， 当且仅当，即∈时取到等号，则y≥18， ∴函数y的最小值为18． （3）∵a1+a2+a3+…+an＝1， ∴2S＝（）[（）+（+）+…+（+）] （）1． 当且仅当时取到等号，则． 三、不等式与立体几何 3.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【详解】 设球的半径为，，， 由，得． 如图： 设三角形的外心为，连接，，， 可得，则． 在中，由正弦定理可得：， 即， 由余弦定理可得，， ． 则三棱锥的体积的最大值为． 故选：． 4．如图，在三棱锥中，面，是上两个三等分点，记二面角的平面角为，则（ ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【详解】 将三棱锥放入长方体中，设，，，如图所示： 过作平面与，与，连接， 则为二面角的平面角，设为，则，， 故. 同理可得：设二面角的平面角为，. ， 当，即时等号成立. 故选：. 5.如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【详解】 解：把正四面体补为正方体，如图， 根据题意，，， ，， 所以，， 故， ，当且仅当时成立， 故选：C. 四、不等式证明 6．设，，则三个数（ ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 【答案】D 【详解】 假设三个数且且，相加得： ，由基本不等式得： ；；； 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数、、至少有一个不小于4． 故选：． 7.已知，，，． 证明：． 证明：． 【详解】 解：证明：由， 得． 另一方面，，，， 所以，即． 所以． 证明： ， 因为， 即，则， 所以． 8.已知为正数，且满足 证明： （1）； （2） 【详解】 （1），故 ，当时等号成立. （2）易知. . 当时等号成立. 9.设实数x，y满足． 若，求x的取值范围； 若，，求证：． 【详解】由，得， 所以不等式，即为， 所以有或或 解得 或或 ， 所x的取值范围为． ，， 所以 当且仅当，即时取等号． 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号． 5、（清华）在锐角中，证明： （1）； （2）. 证明：（1） （5分） （2）解法1：是凸函数， . 解法2：， （10分） 五、最值问题 10.设且，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵，∴（x+1）+(y+2)=7 ∴=1+11.已知实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【详解】 解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 12．设，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【 【详解】 因为； 所以 ． 当且仅当，时取等号， 的最小值为6． 故选：D． 六、不等式与函数 13.已知． （1）求不等式的解集； （2）设为正实数，且，求证：. 【详解】 （1）不等式等价于不等式组或或， 所以不等式的解集为； （2）证明：因为， 所以， 因为为正实数，所以由基本不等式（当且仅当时等号成立）， 同理，所以， 所以， 所以. 14.已知函数的定义域为. （1）求实数的取值范围； （2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值. 【详解】 （1）函数的定义域为. 对任意的恒成立， 令，则， 结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围. （2）由（1）得，则，所以， ， 当且仅当，即，，时等号成立， 的最小值为. 七、不等式与向量 15.若非零向量满足（为单位向量），且，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【详解】 由非零向量满足，可设，，其中均