第3讲 根与系数的关系（精讲篇）-2020年数学初高中衔接讲与练

8 学科网 初高衔接 第3讲 韦达定理 精讲篇 （11页） 第3讲 根与系数的关系 根与系数的关系即实系数一元二次方程两根与其系数之间的关系。 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 。 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么 。 说明1一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”根与系数的关系”． 根与系数的关系还有另外证明方法：如果一元二次方程的两个根分别为，则 比较等式两边对应项的系数可得，由此即得x1＋x2＝，x1·x2＝。 这种方法称为待定系数法，是高中数学中一种常用方法。同学们还可以用这种方法推出一元三次方程甚至一元n次方程的根与系数的关系。 说明2 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由根与系数的关系可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 这会给某些运算带来方便。 本讲知识结构框图： 实系数一元二次方程两根x1，x2 实系数一元二次方程根与系数之间关系（韦达定理）： 在高中解析几何中，直线与二次曲线（圆锥曲线）相交时，求相交弦长以及弦中点坐标等问题有重要应用，是解答此类问题“三部曲”中重要一步 对涉及两根的各种关系x1，x2，通过配方、通分、平方再开方等各种运算凑成用（x1+x2）和x1x2表示，不解方程， 直接求出答案，突出整体思想 一、根与系数的关系的简单应用 例1 若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；（5）x13＋x23。 分析 本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，计算量将很大．如果用，表示要求的代数式，就可以利用根与系数的关系直接求值． 这里用，表示要求的式子就是数学中的整体思想。学习数学不仅是学会解题，更重要的是掌握数学思想以及在数学思想指导下获得解数学题方法。 解 由题意，根据