第5讲 三角形四心与圆（精讲篇）-2020年数学初高中衔接讲与练

11 学科网 初高中衔接 第5讲 平面几何相关结论 精讲篇 （13页） 第5讲 三角形四心与圆 1、 相关结论 1.平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 图1 如图，三条直线 满足， 则. 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 对n条互相平行的直线，有类似的结论. 对于比例，有下列运算性质： （1）若则（更比定理） （2）若则（合比性质），（分比性质） （3）若（）则（合分比性质） （4）若＝…＝，且则（等比性质） 2.三角形的四心 （1）重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部. （2）外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外. （3）内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内. （4）垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外. （5）旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部.对旁心不做要求，理解即可. 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 3.圆幂定理（与圆有关的比例线段） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段长的乘积等于切线长的平方. 切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等. 4.直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的