基本不等式求最值问题的七种常用方法导引

基本不等式求最值问题的七种常用方法导引 基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C级要求，即熟练掌握要求.高考经常考查运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.试题既能考查同学们的“四基”即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，还能考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养. 知识梳理： 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 方法一、常规配凑法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法等. 例1.（1）已知（a,b∈R）,则a+2b的最大值为____0____ （2）. 已知实数x,y满足，则的最大值为________ （3）.设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　.  答案　4 （4）已知实数若、满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最小值为.故答案为：. 方法二、消元法 消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例2.. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________． 【答案】 8　 【解析】解法1因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)， 所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8. 解法2因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0， 所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8. 例3.若，且，则的最小值为． 【答案】 【解析】由已知等式得，从而， ，故有最小值. 方法三、双换元 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系 例4.若，且，则的最小值为． 【答案】 【解析】 所以， 因为 所以 例5.已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________． 【答案】 【解析】设解得所以x＋y＝≤2，即m＋n≤4.设t＝＋＝＋，所以4t≥(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.即t≥，当且仅当＝，即m＝n时取等号． 例6．若正实数满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 设，，则， 所以 ， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 故选:. 四、常量的代换 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。 例7.若正实数满足，则的最小值是． 【答案】8 【解析】因为正实数满足， 所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值. 例8．已知正数、满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】正数、满足，. ， 由基本不等式得，即， 当且仅当时，等号成立， ，因此，的最大值为. 故答案为： 例9．已知正数满足则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 由题可知：，故==当且仅当x=y时取得等号 例10.已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为． 【答案】 【解析】思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解． 当且仅当，即时取“”，所以的最小值为 五、齐次化 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。 例11.已知x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为（） A. B. C. D. （2）已知x，y为正实数，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 试题分析：，因为，所以，当且仅当时等号成立. 例12.已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则的最小值为________． 【答案】　 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a＋b＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理． 解析：(化齐次式法)：因为a＋b＝2，所以＝＝＋＝＋，令u＝2－，因为a＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b