2.数列前n项和的—种求法-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

数列前n项和的一种求法 ■王洪民 一、方法发现 等比数列an=a1qn-1(q≠1)的前n项和 公式除了课本上的推导方法,还可以这样推 导:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,a1+ q(a1+a1q+…+a1qn-1)-a1qn=a1+qSn- a1qn,故得方程 Sn=a1+qSn-a1qn,解得 Sn= a1(1-qn) 1-q 。此方法主要是通过调整Sn 的表达式使表达式中重复出现Sn,构造出关 于Sn 的方程,从而解得Sn,本文称此法为组 合法。 例1 已知an=nxn-1,x≠0,x≠1,n∈ N,求数列{an}的前n项和Sn。 分析:大家在解答这类题时,通常会用错 位相减法求和,是否可以用组合法求解呢? 注意到1+3=2×2,2+4=2×3,3+5=2× 4,…,n+n=2×n。而2,3,4,…,n 分别是 表达式中第2,3,4,…,n项的系数,如果设法 让第1项与第3项,第2项与第4项分别变 成同类项,再相加合并系数,便会重复出现 Sn,组合出关于Sn 的方程。 解:因为Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1, 所以x2Sn=x2+2x3+3x4+…+nxn+1,于 是Sn+x2Sn=1+2x+4x2+6x3+…+ 2(n-1)xn-1+ (n-1)xn +nxn+1 =1+ 2x(1+2x+3x2+…+nxn-1)-2nxn+(n- 1)xn+nxn+1=1+2xSn-(n+1)xn+nxn+1, 故得 方 程 Sn +x2Sn =1+2xSn - (n+ 1)xn+ nxn+1, 解 得 Sn = 1-(n+1)xn+nxn+1 (1-x)2 。 组合法求和通过构造Sn 的方程,解得 Sn,避免或减少了真正意义上的求和,方法简 洁利落。 二、方法应用 用组合法可以求一些曾让我们束手无策 的前n项和问题。 例2 求和Sn=1+a1q+a2q2+…+ anq2,其中1-q-q2≠0,a1=a2=1,ak= ak-1+ak-2(k=3,4,…,n)。 分析:因为a1=a2=1,ak=ak-1+ak-2 (k=3,4,…,n),所以{ak}为斐波那契数列, 通项为ak= 1 5 1+ 5 2 æ è ç ö ø ÷ k - 1- 5 2 æ è ç ö ø ÷ k é ë êê ù û úú。因 为ak-ak-1=ak-2(k=3,4,…,n),ak-1,ak 分别为qk-1和qk 项的系数,ak-2也在求和式 中,因此可用组合法求和。 解:Sn-qSn=1+(a1-1)q+(a2-a1) q2+…+(an-an-1)qn-anqn+1=1+a1q3+ a2q4+…+an-2qn-anqn+1=1+q2Sn-q2- an-1qn+1-anqn+2-anqn+1,故得方 程 Sn- qSn=1+q2Sn-q2-an+1qn+1-anqn+2,解得 Sn = 1-q2-an+1qn+1-anqn+2 1-q-q2 。其 中 an = 1 5 1+ 5 2 æ è ç ö ø ÷ n - 1- 5 2 æ è ç ö ø ÷ n é ë êê ù û úú, an+1 = 1 5 1+ 5 2 æ è ç ö ø ÷ n+1 - 1- 5 2 æ è ç ö ø ÷ n+1 é ë êê ù û úú。 例3 求和Sn=1+qcosx+q2cos2x+ …+qncosnx(cosx≠1)。 解:因为coskx+cos(k-2)x=2cosx· cos(k-1)x(k=2,3,…,n),所 以 Sn+ q2Sn=1+qcosx+q2(cos2x+1)+…+ qn[cosnx+cos(n-2)x]+qn+1cos(n- 1)x+qn+2cosnx=1-qcosx+2qcos(1+ qcosx+q2cos2x+…+qncosnx)-2qn+1· cosxcosnx + an+1cos(n - 1)x + qn+2cosnx=1-qcosx +2qcosxSn - qn+1cos(n+1)x+qn+2cosnx,故得方程Sn+ q2Sn=1-qcosx+2qcosxSn-qn+1cos(n+ 1) x + qn+2cosnx, 解 得 Sn = 1-qcosx-qn+1cos(n+1)x+qn+2cosnx 1-2qcosx+q2 。 练习:用 组 合 法 求 和 Sn =1+22x+ 32x2+…+n2xn-1(x≠1),请读者自己完成。 作者单位:河南省开封市第二十五中学 6 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年6月 $$