3.数列与其他知识综合型问题的求解-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

数列与其他知识综合型问题的求解 ■张丽亚 以正整数集或它的有限子集为定义域 的、一列有序的数叫数列。数列因其具有离 散性、有序性、递推性、趋向性等特点,使得它 与其他数学知识、生活实际之间都有着千丝 万缕的联系。下面归类分析。 一、数列与函数的联系 数列是一种特殊的函数,因此数列常常 会与函数交叉在一起出题,考查考生对数列 和函数关联性的理解和应用。 例1 数列{an}的通项公式an= 3 2n-11 (n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则使 Sn>0的n的最小值为 。 解析:因函数f(x)= 3 2x-11 图像的对称中 心是 11 2 ,0( ),故f(1)+f(2)+…+f(10)=0, 即S10=0。当n≥6时,f(n)>0,所以a11= f(11)>0,所以S11>0,即n的最小值是11。 二、数列与方程的联系 函数是数列和方程产生联系的桥梁,因 此在有些看似与数列毫无关系的方程问题 中,若可以发现题目条件中隐含的数列因素, 借助数列的特质,改变原问题的结构,则可以 开辟新的解题思路,拓宽思维和视野。 例2 解方程 x-1+ 32-x=1。 解析:将方程 x-1+ 32-x=1右边 的1变形为2× 1 2 ,则 x-1, 1 2 ,32-x成 等差数列,借助等差数列即可顺利求得其解。 因 x-1, 1 2 ,32-x成等差数列,故可设 x-1= 1 2-d ① , 32-x= 1 2+d ② , ì î í ï ï ï ï ①2 + ②3 得 1 = 1 2-d( ) 2 + 12+d( ) 3 ,化 简 并 分 解 因 式 得 (2d-1)(2d+1)(2d+5)=0,所以d1= 1 2 , d2=- 1 2 ,d3=- 5 2 。将d1,d2,d3 分别代入 方程 ① 中,可 得 x-1=0, x-1=1, x-1=3,解得x1=1,x2=2,x3=10。经检 验知x1=1,x2=2,x3=10均为原方程的解。 三、数列与生活实际的联系 这类试题需要考生在读懂题目所表达的 具体含义的基础上,构建数学模型,并通过观 察所给数列的特征,判断出该数列的通项公 式,进而确定数列的首项或前n项和。 例3 为了激发同学们学习数学的兴 趣,某数学兴趣小组的同学经过深入研究推 出了一款“解数学题获取软件激活码”的应用 软件。这款软件的激活码为下面数学问题的 答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2, 4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项 是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此 类推。求满足如下条件的最小整数 N:N> 100且该数列的前N 项和为2的整数幂。那 么该款软件的激活码是( )。 A.440 B.330 C.220 D.110 解析:由题意可得数列形为: 1, 1,2, 1,2,4, … 1,2,4,…,2k-1 … 则该数列的前1+2+…+k= k(k+1) 2 项的和 S k (k+1) 2( )=1+(1+2)+…+ (1+2+ … +2k =2k+1 -k-2。要 使 k(k+1) 2 >100 ,则有k≥14,此时k+2< 2k+1,所以k+2是之后的等比数列1,2,…, 2k+1的部分和,即k+2=1+2+…+2t-1= 2t-1,所以k=2t-3≥14,则t≥5,此时k= 25-3=29,对应满足的最小条件为 N= 29×30 2 +5=440 。 作者单位:江苏省阜宁中等专业学校 7 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年6月 $$