4.以等差数列为例分析构造法在高中数学解题中的应用-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

以等差数列为例分析构造法在高中数学解题中的应用 ■徐瑞金 随着素质教育的推进及高中数学内容的 改革,在数学的学习过程中解题思路与方法 显得越来越重要,本文就以等差数列为例分 析高中数学解题中的构造法。 一、为什么使用构造法 在学习数学的过程中,同学们的解题思 路与解题方法是极其重要的,学好数学的关 键就是要有清晰的解题思路,解题思路清晰 了,一切都将迎刃而解。处于高中阶段的同 学,为了能够在较短的时间内提升自身的学 习能力,通常采用的办法是进行题海战术,这 时候找到合适的解题方法就显得尤为重要。 而构造法是解答数学问题的一种比较广泛又 很灵活的方法,同学们若是能应用好这一方 法,就会大大提高解题效率和解题的正确性。 二、使用构造法的意义 同学们在进行解题的过程中,惯性的解 题思路便是用题目中所给出的条件加上所涵 盖的相关数学公式进行结论的推导。但是对 于一些高中数学题目而言,按照正常的解题 思路是不能解答问题的。这就需要同学们在 做题的过程中变换一种全新的解题思路,而 构造法就是在解题的过程中比较常用的一种 方法。正由于高中阶段的数学题型普遍较 难,因此合理运用构造法可以帮助同学们在 较短的考场时间内做出准确率较高的难题, 是一种可以绕过出题老师设置的障碍的便捷 的解题思路。构造法在数学解题中运用得比 较广泛,使用构造法进行解题,可以将烦琐的 数学题目进行简化,有助于同学们在较短的 时间内发现题目的本质,以便快速地构建解 题思路。从根本上来看,构造法是属于非常 规的解题思维,是区别于一般的逻辑思维方 法,但是构造法是高中阶段同学们应比较熟 练应用的一种数学解题方法,希望同学们能 在学习之余多加练习。 三、以等差数列为例谈构造法的运用过程 1.倒数为等差数列 简单来讲,就是已知的数列没有明显规律, 但每一项取了倒数后可以看成等差数列。其相 应的方法就是构造通项的倒数或者前n项和的 倒数后,写出对应变形后数列的通项公式,再整 体取倒数即可。同学们的易错点就是在做题的 过程中其整体意识较差,解题时要注意新数列 的首项并非一定和原数列的首项相同。 2.解题技巧 在进行解题的过程中其实是对于计算上 的变换,把原通项拆成两个连续整数为分母 的分式相减(注意配凑分子系数)。求和时提 取系数,每一个括号的第二项恰能与后一个 括号的第一项抵消(熟练后可以发现往往只 保留第一项减去最后一项)。同学们在解题 的过程中比较容易出错的便是稍难的变形中 出现隔项(奇偶不同规律)关系,因此在求和 时小心需要保留的项数。解题的原理也是依 据构造法的基本方法所引申出来的。 3.具体题目 例如,在等差数列{an}中,前4项之和为 21,末4项之和为67,前n 项和为286,求该 数列的项数。 利用构造法进行解题的步骤:由已知可 得,4a+6d+4a+(4n-10)d=8a+(4a- 4)d=21+67=88,即2a+(n-1)d=22, 1 2 [2a+(n-1)d]n=286,将2a+(n- 1)d=22代入 1 2 [2a+(n-1)d]n=286中, 得n=26。 四、总结 处于高中阶段的同学本身的学习压力就 比较大,对于数学思维能力比较好的同学来 说,数学是学习起来比较轻松的一门学科,但 是对于数学思维能力较差的同学来说,数学 就是让人比较头疼的科目,因此掌握良好的 做题方法就显得尤为重要。而构造法是最具 活力的数学转化方法之一,有助于发展同学 们的创造思维和探索创新能力,同学们应多 加重视。 作者单位:江苏省徐州市第三中学 8 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年6月 $$