5.探析方程和不等式的关联性—以一元二次方程和一元二次不等式为例-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

探析方程和不等式的关联性 ———以一元二次方程和一元二次不等式为例 ■钱志祥 方程是指含有未知数的等式,不等式是 指用不等号(“>”“<”“≥”“≤”)连接的式 子,从数学表达方式来看,方程相当于不等式 的一种特殊情况,因此方程和不等式问题具 有一定的关联性,下面以一元二次方程和一 元二次不等式为例进行分析。 一、一元二次方程和一元二次不等式的 基本知识框架 1.一元二次方程的基本知识 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+ c=0(a≠0),判别式为Δ=b2-4ac。当Δ> 0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0 时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方 程没有实数根。当Δ≥0时,求根公式为x= -b± b2-4ac 2a 。 2.一元二次不等式的基本知识 一元二次不等式的一般形式是ax2+ bx+c>0,ax2+bx+c≠0,ax2+bx+c<0, ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0(a≠0)。 小结:一元二次方程和一元二次不等式 对应的函数解析式均为f(x)=ax2+bx+c (a≠0),因此在求解一元二次方程和一元二 次不等式时,都需要利用对应函数的图像是 抛物线,且当a>0时,抛物线的开口方向向 上,当a<0时,抛物线的开口方向向下等性 质完成求解。 二、求解一元二次方程和一元二次不等 式的方法 1.求解一元二次方程的四种常用方法 (1)公式法:确定方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中a、b、c 的值,直接代入求根公式 x= -b± b2-4ac 2a 解得方程的根。该方法 适用于解答任何一个有解的一元二次方程。 例1 解方程18x2+20x+5=0。 解:因为a=18,b=20,c=5,所以b2- 4ac=202-4×18×5=40>0,所以 x= -20± 40 2×18 ,所 以 x1 = -10+ 10 18 ,x2 = -10- 10 18 。 (2)直接开方法:当一元二次方程等号左 边是一个数的平方形式,等号右边是常数项, 即x2=m 或(ax+b)2=m(m 是已知数)的形 式时,可以采用直接开平方法求得方程的根。 例2 解方程(2x-1)2=48。 解:因 为2x-1=±43,所 以2x= ±43+1,所 以 x1 = 43+1 2 ,x2 = -43+1 2 。 (3)配方法:运用配方法时,需要先通过 移项、合并同类型,把已知方程变换为一般形 式;再把常数项移到等号右边;然后在方程两 边都加上一次项系数一半的平方,写成完全 平方的形式;利用直接开方法求得方程的根。 例3 已知关于x 的一元二次方程的解 析式为x2-(m-3)x-m=0。 ①求证:方程有两个不相等的实数根。 ②如果方程的两个实根为 x1、x2,且 x21+x22-x1x2=7,求m 的值。 解:①因为x2-(m-3)x-m=0,所以 Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2- 2m+9=(m-1)2+8>0,所以关于x 的一 元二次方程有两个不相等的实数根。 ②因为方程x2-(m-3)x-m=0的两 个实根为x1、x2,且x21+x22-x1x2=7,所以 (x1+x2)2-3x1x=7,所以(m-3)2-3× (-m)=7,解得m1=1,m2=2。 点评:第①问的证明需运用一元二次方 程的判别式公式;第②问的解答需要在厘清 9 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年6月 已知条件,构建出关于 m 的一元二次方程 后,采用配方法求解。 (4)因式分解法:运用因式分解法时,需 要先将已知一元二次方程等号右边转化为 零,将等号左边通过提取因式转化成可以采 用十字相乘法求得根的两项乘积的形式;再 快速求得方程的根。 例4 解方程(x-3)(x-5)=3。 解:将原方程转化为x2-8x+12=0,所 以(x-2)(x-6)=0,所以x1=2,x2=6。 2.求解一元二次不等式的方法步骤 (1)转化标准式:把已知一元二次不等式 转化为二次项系数大于零的标准式,注意若 原不等式的二次项系数小于零,在转化时一 定要注意变号。 (2)计算判别式和方程的根:计算对应于 一元二次不等式的一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac,以及方程 的两根x1、x2(x1<x2)。 (3)求符合题意的解集:当Δ>0时,不等 式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x︱x< x1 或x>x2},不等式ax2+bx+c<0(a>0) 的解集为{x︱x1<x<x2};当Δ=0时,不等 式 ax2 +bx+c>0(a>0)的 解 集 为 x x≠- b 2a{ },不等式ax 2+bx+c<0(a> 0)的解集为⌀;当 Δ<0时,不等式ax2+ bx+c>0(a>0)的解集为 R