6.老师搭台 学生唱戏—例谈高中数学课堂中学生创造性思维的培养-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

老师搭台 学生唱戏 ———例谈高中数学课堂中学生创造性思维的培养 ■王兰灵 一、创造性思维及创造性思维培养的必 要性 创造性思维指打破常规、具有创意、带有 创新的思维。具有创造性思维的学生,观察 力强,思维敏捷,逻辑缜密,能够更快速地认 清问题的本质。他们能够更便捷地解决问 题,甚至能对问题产生具有影响力的见解,进 而丰富自身的数学思维,提升数学素养。高 中阶段是学生思维和思想形成的黄金时期, 创造性思维的培养在此阶段显得尤为必要。 二、例谈学生创造性思维的培养 学生的创造性思维,只能培养,不能灌输。 基于这个理念,笔者尝试搭建了培养学生创造性 思维的平台。在课前,布置适量的有利于培养学 生创造性思维的习题,给他们足够的探究时间, 鼓励学生独立思考,思考之后再互相交流。在 课堂上,营造轻松和谐的氛围,鼓励大家对课堂 的问题提出自己的见解,或者推荐优秀的解法。 当解法巧妙时,就以学生的名字命名该解法。 在课后,把学生的优秀解法记录下来,积累到一 定程度后,形成论文,论文发表之后与学生一起 分享其创造性的成果。将课前、课堂和课后三 个环节综合起来,就形成了“老师搭台,学生唱 戏”的创造性思维培养局面。现选取2020届高 三12班(理科普通班)李乐恒、刘沛杰、戴志锴 三位同学的三个案例跟大家一起分享。 案例一:“乐恒法”妙解“非线性”的线性 规划题 例1 已知变量x、y满足 y≤x, x+y≥2, y≥3x-6, ì î í ïï ïï 则目 标函数z= 3x-y x2+y2 的值域为 。 解法1:常规解法(向量法)。设a=(3, -1),b=(x,y),则 z= a·b |b| =|a| · a·b |a|·|b|=|a| ·cos<a,b>,其中|a|=2。 图1 画出可行域,如图1所示。 A(3,-1),∠AOx= π 6 , B(x,y)为可行域△CDE 内 任意一点,|a|=OA→,b= OB→。易得 ∠BOx ∈ 0,π4[ ],∠AOB ∈ π 6 ,π 4+ π 6[ ],因为<a,b>=∠AOB,所以求 得z∈ 6- 2 2 ,3 é ë êê ù û úú。 评注:该解法符合大部分学生的思维。 根据目标式子的特点,联想到了向量的夹角 公式,通过恒等变形,把目标式子转化成了 2cos<a,b>,最终根据夹角的范围求出结果。 解法 2:乐 恒 法(极 坐 标 法)。将 x= ρcosθ,y=ρsinθ代入z= 3x-y x2+y2 中,得z= 3cosθ-sinθ,根据图1中可行域的位置, 得θ∈ 0, π 4[ ],又因为cosθ 和-sinθ 在 0, π 4[ ] 上都是单调递减的,所以代入端点值 可快速求得结果z∈ 6- 2 2 ,3 é ë êê ù û úú。 评注:李乐恒同学的解法有两点被全班 称赞。第一是他想到了极坐标,瞬间就把目 标式子化简,变得简洁且熟悉;第二是他直接 判断出了z= 3cosθ-sinθ的单调性,而不 是继续利用辅助角公式进行复杂化处理。这 个解法非常新颖漂亮,很多经验丰富的老师 都未必能想到这个处理方法。 案例二:“沛杰法”挑战函数法 例2 已知函数f(x)=ex-1,g(x)= 1 2+ln x 2 。若f(a)=g(b)成立,则b-a 的 最小值为 。 解法1:常规解法(函数法)。令f(a)= 11 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年6月 g(b)=m,显然 m>0。由 ea-1=m, 1 2+ln b 2=m ,{ 得 a=lnm+1, b=2em- 1 2,{ 所以b-a=2e m-12-lnm-1。记 φ(m)=2em- 1 2-lnm-1,φ'(m)=2em- 1 2- 1 m , φ″(m)=2em- 1 2+ 1 m2>0 ,所以φ'(m)在(0,+∞) 上单调递增。又φ' 1 2( )=0,所以φ(m)在 0, 1 2( ) 上单调递减,在 1 2 ,+∞( ) 上单调递增, 即φ(m)的最小值为φ 1 2( )=1+ln2。 评注:函数法是大多数学生采用的方法, 思路清晰,只要掌握了用导数研究函数单调 性的技能,就能比较顺利地完成。 解 法 2:沛 杰 法 (双 等 值 法)。 由 f(a)=g(b), f'(a)=g'(b),{ 得 ea-1= 1 2+ln b 2 , ea-1= 1 b ì î í ï ï ï ï ⇒ a=1-ln2, b=2,{ b-a=1+ln2,即为所求的最小值。 评注:该方法由刘沛杰同学提出,答案是 正确的,但是课堂上他没有完全说清楚这种 解法的理由。受沛杰同学的启发,经过课后 的研究发现,这种双等值法(函数值和导数值 图2 均相等)是有根据的。如图2所 示,两条“背靠背”的曲