7.一道探究型试题的解题分析-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

一道探究型试题的解题分析 ■潘登柱 图1 题目 如图1 所示,在 平 面 直 角 坐 标 系 中,以 点 A(1,0)为圆心,以 2为半径的圆交x 轴于B,C 两点,交 y 轴于D,E 两点。 (1)求 D,E 两 点的坐标。 (2)求过 B,C,D 三点的抛物线的解 析式。 (3)直线y=- 3 3x+ 53 3 交x 轴于点 M,交y 轴于点 N,试判断直线 MN 与☉A 的位置关系。 (4)抛物线上是否存在点P,使以P,B, C,E 为顶点的四边形是平行四边形? 若存 在,求 出 P 点 的 坐 标;若 不 存 在,请 说 明 理由。 分析:(1)根据垂径定理有OD=OE,只 需求出一点坐标即可。 法一:根 据 勾 股 定 理。连 接 AE,在 Rt△AOE中,OA=1,AE=2,所以 OE= 3,即E(0,3),D(0,- 3)。 法二:根据勾股定理及等量代换。连接 CE,BE,在Rt△COE,Rt△EOB 中,OE2= CE2-OC2,BE2=OB2+OE2。又因为 BC 为☉A 的 直 径,所 以 ∠CEB =90°,所 以 BE2=BC2 -CE2。联 立 以 上 各 式 即 得 2OE2=16-9-1,OE= 3。以下同法一。 (2)由(1)知B(3,0),C(-1,0),D(0, - 3),求抛物线的解析式,可用一般式、顶 点式。 法一:利用一般式。设方程为y=ax2+ bx+c,用待定系数法得 0=9a+3b+c, 0=a-b+c, - 3=c, ì î í ïï ïï 所 以a= 3 3 ,b=- 23 3 ,c=- 3,所以y= 3 3x 2- 23 3x- 3 。 法二:利用顶点式。设方程为y=a(x- k)2+h,由对称性知k=1,又过 B(3,0), D(0,- 3)两点,用待定系数法得a= 3 3 , h=- 43 3 ,所以y= 3 3 (x-1)2- 43 3 。 (3)过点A 作AQ⊥MN 交MN 于Q,由 已知得 M(5,0),N 0, 53 3 æ è ç ö ø ÷。 法一:利用三角形相似。在△OMN 与 △QAM 中,MN = 103 3 ,AM =4,所 以 AM MN= AQ AN ,所以 AQ=2=r,即 MN 与☉A 相切。 法二:利用三 角 函 数 关 系。同 法 一 得 OM=5,ON= 53 3 ,所以∠OMN=30°。又 因为AM=4,所以AQ=2=r。以下同法一。 (4)该小题为探究性题,需要满足两个条 件,一是四边形 PBCE 为平行四边形;二是 点P 满足抛物线方程,利用一个条件判断另 一个条件即可。 法一:根据平行四边形性质。设 P(x, y),EP∥CB,EP=CB。所以yP=yE= 3, xP=xE+4=4,P(4,3)不满足抛物线方 程,这样的点P 不存在。 法二:根据平行四边形对角线性质及中 点 坐 标 公 式。 设 P (x,y ), 则 xC+xP 2 = xE+xB 2 , yC+yP 2 = yE+yB 2 , ì î í ï ï ï ï 所以P(4,3)不满足抛 物线方程,这样的点P 不存在。 作者单位:贵州省安龙县第一中学 31 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年6月 $$