8.一道征解求值问题的探究-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

一道征解求值问题的探究 ■范广哲1 邹 峰2 2019年第6期《数学通讯》[1]中的一个问 题如下: 求值:(1) 1 sin210°+ 1 sin250°+ 1 sin270° ; (2) 1 cos210°+ 1 cos250°+ 1 cos270° 。 分析:(1) 1 sin210°+ 1 sin250°+ 1 sin270°= 3+cot2 π 18+cot 25π 18+cot 27π 18=cot 2 π 18+ cot2 3π 18+cot 25π 18+cot 27π 18 。 (2) 1 cos210°+ 1 cos250°+ 1 cos270°=3+ tan2 π 18+tan 2 5π 18+tan 2 7π 18=tan 2 π 18+ tan2 3π 18+tan 25π 18+tan 27π 18+ 8 3 。 文献给出了一系列优美的三角恒等式, 现列举结论1和结论2。 结论1:∑ n k=1 cot2 2k-1( )π 4n+2 =n2n+1 ( ),其 中n∈N*。特 别 地,当 n=4时,上 式= cot2 π 18+cot 23π 18+cot 25π 18+cot 27π 18=4×9=36 。 结论2:∑ n k=1 tan2 2k-1( )π 4n+2 =∑ n k=1 cot2 kπ 2n+1 = n2n-1( ) 3 ,其中n∈N*。特别地,当n=4 时,上 式 =tan2 π 18+tan 2 3π 18+tan 2 5π 18+ tan2 7π 18+ 8 3= 4×7 3 + 8 3=12 。 下面笔者给出其他类似的三角恒等式,如下: 推广1:∑ n k=1 1 sin2 (2k-1)π 4n+2( ) =2n(n+1), 其中n∈N*。 证 明: ∑ n k=1 1 sin2 2k-1 ( )π 4n+2( ) = n + ∑ n k=1 cot2 2k-1 ( )π 4n+2( ) = n + n 2n+1( ) = 2nn+1( )。 推广2:∑ n k=1 1 cos2 (2k-1)π 4n+2( ) = 2n(n+1) 3 , 其中n∈N*。 证 明: ∑ n k=1 1 cos2 (2k-1)π 4n+2( ) = n + ∑ n k=1 tan2 (2k-1)π 4n+2( ) = n + n(2n-1) 3 = 2n(n+1) 3 。 推广3:∑ n k=1 1 1-cos (2k-1)π 2n+1( ) =n(n+ 1),其中n∈N*。 证 明: ∑ n k=1 1 1-cos (2k-1)π 2n+1( ) = ∑ n k=1 1 2cos2 π- (2k-1)π 2n+1 +π 2 æ è çç ö ø ÷÷ = ∑ n k=1 1 2cos2 (n-k+1)π 2n+1( ) =∑ n k=1 1 2cos2 kπ2n+1( ) = 1 2 n+∑ n k=1 tan2 kπ 2n+1( )= 1 2 [n+n(2n+1)]= n(n+1)。特别地,当n=4时, 1 1-cos π 9 + 1 1-cos 3π 9 + 1 1-cos 5π 9 + 1 1-cos 7π 9 =4× 4+1( )=20。进 一 步 可 得, 1 1-cos π 9 + 1 1-cos 5π 9 + 1 1-cos 7π 9 =20- 1 1-cos 3π 9 = 20-2=18。 参考文献: [1]林国红.一道合情推理的三角恒等式 探究[J].数学教学,2018(12). 作者单位:1.上海市行知中学 2.湖北省武汉职业技术学院商学院 41 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年6月 $$