9.高中数学解题中变式训练应用研究-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

高中数学解题中变式训练应用研究 ■蔡晓庆 变式训练就是通过构造变式,将题目中 的条件或者结论进行转化,从而实现一题多 练,有效锻炼同学们的思维能力,使同学们更 加深刻地掌握数学知识,提高数学学习效率。 下面具体分析变式训练在数学解题中的实际 应用。 一、一题多变 1.改变表达方式,本质不变。 例1 已知点 M(-11,14),N(-12, 15),若是存在一个点O(a,b)与点 M,N 构 成的夹角∠MON 恒为直角,求点O 的轨迹 方程。 变式训练1:若是过点 M(-11,14)的直 线l1 和过点N(-12,15)的直线l2 是垂直 的,求垂足O 的轨迹方程。 变式 训 练 2:已 知 点 M (-11,14), N(-12,15)为两个定点,使动点O 满足OM 垂直于ON,求点O 的轨迹方程。 分析:以上两道变式题的解答需要用到 的数学知识点是一致的,但是在数学符号和 表达方式上出现了变化,这也是非常常见的 变式训练中的干扰项。同学们在解答题目的 过程中,可以运用向量知识、圆的性质定理进 行求解,并且将相关的数学知识关联起来,从 而将数学知识有效融合。 2.透过问题看本质。 例2 已知△ABC 是等边三角形,过A 点作一条直线和BC 的中点M 相交。求证: AM 为∠BAC 的角平分线。 变式训练3:已知等边三角形△ABC,过 点A 和BC 的中点M 作一条直线,求证:AM 为BC 的垂线。 分析:该题目考查的数学知识为等边三 角形三线合一的性质定理。运用变式训练解 决数学问题就是引导同学们运用等边三角形 的性质去突破题目,从而明白求等边三角形 的角平分线就是求解三角形的垂线或者中 线,从而有效调动同学们的思维能力和应变 能力,灵活运用数学知识解答数学问题。 二、一题多解 变式训练中,不仅是改变题目的已知条 件或者结论,还可以是一题多解,这也是变式 训练中常见的现象。 1.题设不变,改变问题。这种就是在改 变问题的基础上,让同学们进行再解答。 例3 在椭圆 x2 16+ y2 9=25 上存在一个点 Q,使它与两个焦点 M1,M2 的连线相互垂 直。当 M1,M2 与Q 三点之间为钝角时,求 点Q 的横坐标的取值范围。 变式训练4:在椭圆 x2 16+ y2 9=25 上存在一 个点Q,使之与椭圆的两个焦点M1,M2 的连线 相互垂直,求点M 的横坐标的取值范围。 分析:本题是在原题的基础上进行拓展 训练,进一步引导同学们运用数学知识分析 和解决问题,从而提高数学逻辑推理能力,提 高数学学习效率。 2.题干和问题表达同时发生变化。 例4 已知圆O 的轨迹方程为x2+y2= r2,求经过圆上点Q(x0,y0)的切线方程。 变式训练5:已知 Q(x0,y0)为圆 O: x2+y2=r2 上的一点(异于圆心),求直线 x0x+y0y=r2 和圆O 的交点一共有几个? 有什么几何意义? 变式训练6:已知点 Q(x0,y0)在圆O: x2+y2=r2 的外部,那么直线x0x+y0y=r2 有什么几何意义? 分析:对题目进行变式训练,可以促使同 学们从这些类似的题目中加强对数学知识的 理解和运用,从而提高自身的应变能力,提高 数学学习效率。 结束语:高中数学学习中应用变式训练 解决数学问题,主要就是在题目上设置干扰 因素,但是原题的实质性内容不会发生变化, 在数学学习中,同学们要改变传统的解题思 路,科学运用变式训练的方式解决数学问题, 从而有效提高自身的综合素养。 作者单位:江苏省苏州市相城区望亭中学 51 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年6月 $$