10.直观想象视域下的空间几何体的外接球问题-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

*本文系2019年度福建省基础教育课程教学研究课题“直观想象视域下的高中数学教学 设计与实践研究”(课题编号:MJYKT2019-174)的阶段性研究成果。 直观想象视域下的空间几何体的外接球问题* ■陆享飞 研究多面体的外接球问题,既要运用多 面体的知识,又要运用球的知识。试题多是 相对灵活的中档问题,解题的关键是确定想 象出球与多面体的位置关系,以及找出外接 球的球心。 一、重视文字语言、图形语言和符号语言 的理解,提升直观想象核心素养 图1 例1 如图1所示,在三棱 锥 V-ABC 中, ∠VAC = ∠VBC=90°,VC=6,求三棱锥 的外接球的体积。 解析:依题意可知△VAC 与△VBC 是有公共斜边的直角三角形,据直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OA=OV=OC=OB。则球心为VC 的中点 O,外接球的半径为3。所以V= 4 3πR 3= 4 3π ·33=36π。 评注:空间想象能力是对空间形式的观 察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图 和对图形的想象能力。识图是指观察研究所 给图形中几何元素之间的相互关系。解题时 并不需要我们画出球,而应想象出球与三棱 锥的位置关系。 二、重视与平面图形知识的联系,突出化 归的数学思想 例 2 在 平 行 四 边 形 ABCD 中, ∠CBA=120°,AD=4,对角线BD=23,将 其沿对角线 BD 折起使平面 ABD⊥平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一球面 上,则该球的体积为多少? 图2 解析:如图2所示,由 已知∠A=60°,AD=4, BD=23,由余弦定理可 解得AB=2,故AB⊥BD。 由平面 ABD⊥平 面 BCD,可 得AB⊥平 面 BCD,则 AB⊥BC,AB⊥CD。所以CD⊥面 ABD,则△ABC 与△ACD 是以AC 为直角边 的直角三角形。所以AC即为球的直径,则R= 5。所以V球= 4 3π (5)3= 205 3 π 。 评注:折叠类问题对于同学们而言是个 难点,故应认真分析折叠前后哪些量变、哪些 量不变,平面图形的性质要会用。题中有线 面垂直,所以可从线面垂直中抽象出线线垂 直,从而转化为四个顶点分布在有一公共斜 边的两直角三角形问题,即球心为斜边的 中点。 三、形成良好的数学思维习惯,提升直观 想象核心素养 例3 有一个三棱锥的六条棱分别是两 两为2,3,1,求这个三棱锥的表面积。 解析:观察长度2,3,1为三棱锥的棱长, 故有两个直角三角形。本题三棱锥图形的放置 很关键,应该尽量找到垂直底面的侧棱。 图3 如图3所示,AB=CD= 3, AC=AD=2,BC=BD=1,则 AB⊥面BCD,△BCD 是等腰三 角形,底面圆的半径为1,球心到 底面圆心的距离为 3 2 。R2=1+ 3 4= 7 4 ,则S表=4πR2=4π· 7 4=7π 。 评注:本题图形位置的摆放很重要。对 图形的想象主要包括有图想图和无图想图两 种,是空间想象能力高层次的标志。以形辅 数,可以让同学们借助恰当的图形去思考并 解题。在几何直观视域下培养同学们的推理 与解题能力,需理解图形的特征,把握图形的 本质,画好示意图,把握问题的本质。 作者单位:福建省漳平第一中学 61 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年6月 $$