11.向量在高中数学解题中的运用探究-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

向量在高中数学解题中的运用探究 ■周振欢 向量作为高中数学的重要内容,具有数 形结合的特点,在许多数学问题的求解中有 着妙用。强化向量在数学解题中的运用,不 仅可以巩固同学们向量学习的效果,对同学 们解题能力的培养,以及数学学习效果的系 统性提升均有重要的意义。 一、向量在数列解题中的应用 向量与数列的融合是当前数列出题的新 现象,命题者多将向量共线条件与数列性质 结合起来,此时,同学们若利用向量共线条 件,能够很快地求出答案。 例如,Sn 为数列{an}的前n 项和,已知 an-an+1=d(d∈R),其中OB→=a1 OA→+ a200OC→,假设A,B,C 均在同一条直线上,且 不过点O(0,0),试求出S200的值。本题从形 式上看,属于典型的数列求和题,但按照一般 数列求和的方法来计算,显然是不合适的,因 为题目考查的主要内容是同学们对向量共线 定理的掌握情况。在解题时要先利用向量共 线定理求出首项及末项的和,再借助数列求 和公式求出答案。 二、向量在三角函数解题中的应用 向量在三角函数解题中有着广泛的应 用,而从近年来的高考出题趋势来看,借助三 角函数来考查数量积、向量共线及垂直条件 的题目越来越多。 例如,已知向量 m=(cosθ,sinθ),n= (2-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|= 82 5 ,求cos θ2+ π 8( ) 的值。解题时可以借 助向量的坐标运算将其转化为三角函数。从 |m+n|=2 1+cosθ+ π 4( ) = 82 5 推导出 cosθ+ π 4( ) = 7 25 ,因 为 cos θ+ π 4( ) = 2cos2 θ2+ π 8( )-1,计算出cos 2 θ 2+ π 8( )= 16 25 ,结合题目给出的条件θ∈(π,2π),易知 5π 8< θ 2+ π 8< 9π 8 ,可以得出cosθ2+ π 8( )< 0,开方处理后求出cosθ2+ π 8( )=- 4 5 。 三、向量在几何解题中的应用 (1)平面几何中很多的证明、计算非常复 杂,按一般解题思路来求解,步骤非常多,同 学们犯错的概率也比较大。运用向量可以巧 妙地将平面几何的问题转化为向量问题,再 利用向量的计算法则来求解,极大地降低了 求解的难度。 例如,已知某△ABC,其中 AM∶AB= 1∶3,AN∶AC=1∶4,CN 和BN 相交于点 E,若 AB=m,AC=n,且∠BAC=60°,则 AE 的长度为多少? 从题目给出的条件,我 们可以先设AB→=a,AC→=b,如此,NB→=a- 1 4b ,CM→=13a-b,问题的复杂性大为降低。 (2)向量在立体几何的解题中同样有着 重要的应用价值。从出题的角度来看,当前 的立体几何题目多以证明题为主,同学们需 要借助公式、定理来证明。一般的做法是遵 循转化思想,将立体几何求证的内容转化为 平面几何,再进行处理。但在实际的操作中, 很多题目转化后仍然非常复杂不易求解。对 此,运用向量进行证明,往往能够收到意想不 到的效果。 例如,某平行六面体ABCD-A'B'C'D'的底 面为 菱 形 ABCD,且 ∠C'CB= ∠C'CD= ∠BCD=60°,求证:C'C 与BD 垂直。同学 们通常的做法是利用线面垂直来推导线线垂 直,不仅费时费力,且容易求证错误。而运用 向量能够极大地简化问题,CB→=a,CD→=b, CC'→=c,则|a|=|b|。因为BD→=CD→- CB→=b-a,所以BD→·CC'→=(b-a)·c= b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0, 所以CC'→⊥BD→,即C'C⊥BD。 作者单位:广西防城港市北部湾高级中学 71 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年6月 $$